Avertissement.

Le sujet est vaste et peut intéresser des gens de niveaux divers (à partir du lycée et bien au-delà). C'est pourquoi cet article est découpé en 2 parties. La première s'adresse au niveau pré-bac, la seconde est accessible à partir du DEUG, environ.

Dans la première partie, l'accent est mis sur la ``vulgarisation'', parfois au détriment de la rigueur: pour éviter des complications techniques, certaines démonstrations sont "un peu fausses", tout en donnant l'idée principale de la méthode. Chaque fois que c'est le cas, c'est signalé, et on peut se reporter à la seconde partie pour trouver une démonstration (à priori) rigoureuse. La seconde partie complète la première, avec des outils plus abstraits et plus puissants. Elle s'efforce à la rigueur, mais elle peut comporter des erreurs ou imprécisions.

Merci enfin à David Madore (David.Madore@ens.fr), spécialiste du sujet, d'avoir corrigé et complété une première mouture de cet article. Merci également à tous les lecteurs de fr.sci.maths qui m'ont indiqué des corrections diverses.

Rappel:

• $\N$: ensemble des entiers naturels $= \{0,1,2,3,\ldots\}$
• $\Z$: ensemble des entiers relatifs (signés) $=\{\ldots,-1,0,1,\ldots\}$
• $Q$: ensemble des nombres rationnels (fractions)
• $R$: ensemble des nombres réels
• $C$: ensemble des nombres complexes

L'étoile signifie que l'ensemble est privé de $0$ ( $\N^*=\{1,2,3,\ldots\}$).

Voici d'abord les résultats essentiels, qui seront suivis par quelques explications:

• $\N$, $\Z$, $Q$ ont autant d'éléments
• $R$, $C$ ont autant d'éléments
• Les 3 premiers ont moins d'éléments que les 2 derniers.

La notion de cardinal étend la notion de nombre aux infinités, de façon à ce que l'on puisse comparer les ensembles infinis. Voici comment.