Définition moderne

Cette définition, entièrement analytique, est proposée par Arnaudies et Fraysse. Je vais rapidement la présenter, sans aucune démonstration.

Soit $A$ une algèbre de dimension finie. Pour tout $x$ de $A$ on appelle exponentielle de $x$ la somme de la série de Mac Laurin, et on note:

$$exp(x) = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^n}{n!}}$$

En particulier, si $A=\R$, alors l'exponentielle correspond à l'exponentielle réelle telle qu'on la définit en terminale, c'est à dire comme étant l'application réciproque de la primitive de $1/x$ qui s'annule en $1$. Mais cette définition par les séries est plus forte car elle s'applique à toute algèbre normée, par exemple, on peut calculer l'exponentielle d'une matrice.

On définit alors la fonction cosinus $cos$ par: pour tout $x$ complexe, $cos(x)=\frac{1}{2} (exp(i x) + exp(-i x))$ où $i$ est le nombre imaginaire pur (tel que $i^2=-1$).

On définit alors $\pi$ comme le double de l'unique racine $w$ de l'équation $cos(w)=0$ comprise entre $0$ et $2$. Ainsi $cos(\pi/2)= 0$ et $0<\frac{\pi}{2} <2$.

On obtient, entre autres, $e^{i\pi}+1=0$. Cette relation fascinait Euler car elle relie les 5 nombres fondamentaux que sont $0$ (élément neutre pour l'addition), $1$ (élément neutre pour la multiplication), $e$ (base du logarithme népérien), $i$ (nombre imaginaire) et $\pi$ ! Vous trouverez cette formule à l'entrée de la salle "Pi" du palais de la découverte, à Paris.