Transcendance de $e$

La transcendance de $e$ fut prouvée par Charles Hermite en 1873 (Lindemann devait suivre avec $\pi$ en 1882, seulement). C'est beaucoup plus difficile et horrible à écrire ici. Je résume donc brutalement.

Soit $f(t)$ un polynôme (quelconque pour l'instant) et $F(t)$ la somme de toutes ses dérivées successives.

En intégrant par parties, on prouve d'abord (c'est très facile) quei

$$\exp(x) \int_0^x \exp(-t) f(t) = -F(x) + \exp(x) F(0)$$

On suppose ensuite que $e$ satisfait à l'équation algébrique à coefficients entiers:

$$\sum_{k=0}^n a_k \exp(k) = 0$$

(Ce n'est évidemment pas une restriction que de supposer $a_0$ non nul).

L'identité générale précédente donne alors:

$$\sum_{k=0}^n a_k \exp(k) \int_0^n a_k F(k) = - \sum_{k=0}^n a_k F(k) \eqno{(1)}$$

Ici, coup de génie de Hermite: il choisit maintenant le polynôme

$$f(t) = \frac{t^{p-1}}{(p-1)!} \prod_{j=1}^n (j-t)^p$$

Où $p$ est un nombre premier supérieur à $n$ et à $\vert a_0\vert$. (C'est possible, puisqu'il existe une infinité de nombres premiers)

Il démontre ensuite que le second membre de (1) est un entier non multiple de $p$ (c'est élémentaire, mais subtil), donc non nul, donc de valeur absolue valant au moins $1$ (astuce classique en arithmétique!). Par ailleurs, le premier membre de (1) $\to 0$ lorsque $p \to \infty$, selon la suite des nombres premiers (par des majorations fort brutales). C'est la contradiction cherchée.