La démonstration (fausse)

On peut aisément montrer la propriété suivante:

Donc $n \sim n+1$ (car $\lim{\frac{n+1}{n}}=1+\lim{\frac{1}{n}}=1$), mais aussi $n+1 \sim n+2$ , $n+2 \sim n+3$ , $\ldots$, $2n-1 \sim 2 n$. Par transitivité de cette relation d'équivalence on obtient donc $n \sim 2 n$, ce qui veut dire que $\lim{\frac{2n}{n}}=1$. Or $\lim{\frac{2n}{n}}=2$, donc $2=1$.