Une méthode ``à la main.''

En fait cette méthode est celle qui était enseignée dans les années 60 dans les classes de Mathématiques Élémentaires (l'équivalent de la terminale S actuelle) et bien sûr elle faisait l'objet de questions au bac : racine carrée à $0,01$ près de $x$ et pas de calculatrice à l'époque: il fallait bien le faire à la main!

Par exemple, on cherche la racine carrée de $216834$.

On note $a_i$ les chiffres de la racine carrée successivement obtenus ($a_1$ le chiffre le plus à gauche). On découpe en tranches de 2 chiffres à partir de la droite (s'il y avait une virgule on découpe à partir de la virgule), donc on a '$21$'; '$68$'et '$34$'.

La tranche la plus à gauche est '$21$'. $4$ est le plus grand entier dont le carré est inférieur à $21$ donc on en tire $a_1=4$.

L'on a $21-16=5$, on juxtapose $5$ et la deuxième tranche, on obtient $568$. Soit $D = 2a_1 = 2\times4 = 8$. On a $E(56/8) = 7$ où $E(x)$ désigne la partie entière de $x$.

$a_2$ sera le plus grand entier inférieur ou égal à $7$ tel que

$$(8 \times 10 + a_2) \times a_2 \leq 568$$

L'on a donc: $87\times7 > 568$ et $86\times6=516 < 568$. On prend $a_2 = 6$. (Remarque: si la partie entière avait été plus grande que $10$, on aurait prit $a_2 \leq 9$).

On effectue $568-516 = 52$, que l'on juxtapose à la tranche suivante, pour obtenir $5234$. Soit $D =2 \times (10\times a_1 +a_2) = 2 \times 46 = 92$. L'on a alors: $E(523/92) = 5$. Donc $a_3$ sera le plus grand entier (inférieur ou égal à $5$) tel que

$$(92 \times 10 + a3) \times a_3 \leq 5234$$

L'on a donc: $925 \times 5 < 5234$ donc $a_3 = 5$. A ce niveau on a obtenu la partie entière de $\sqrt{216834}$ à savoir $465$. On continue le processus en abaissant des tranches de 2 zéros (et pour le $D$ on ignore la virgule située après $a_3$ : $D=2\times(100\times a_1 + 10\times a_2 + a_3)$, puis $D=2\times(1000\times a_1 + 100\times a_2 + 10\times a_3 + a_4)$ etc.)