Une solution.

On peut s'en sortir avec un peu de calcul intégral. Si l'on considère un axe vertical dont l'origine est placée à la hauteur du centre du cylindre, alors la section du cylindre à la hauteur z a pour aire

$$a(z) = 2 \sqrt{R^2-z^2} L$$

Par conséquent, on a : $v = \int_{-R}^{h-R} a(z)$

L'intégrale se calcule par le changement de variable $z = R \sin t$. On a alors successivement, en notant $x = \frac{h}{R} - 1$ ($x=-1$ lorsque la cuve est vide, $x=0$ à mi-hauteur et $x = 1$ quand elle est pleine):

$$\begin{array}{ccc} v & = & \int_{-\pi/2}^{\arcsin x} 2L R^2 ... ...in{2 \arcsin x} - (-\pi/2 + \sin(-\pi) \rbrack \ \end{array}$$

Finalement, si l'on appelle $v_0 = \pi R^2 L$ le volume total de la cuve, on obtient le taux de remplissage:

$$\frac{v}{v_0} = \frac{\arcsin x + x \sqrt{1-x^2} + \frac{\pi}{2}}{\pi}$$

ou plus simplement

$$\frac{v}{v_0} = \frac{x \sqrt{1-x^2} + \arccos(-x)}{\pi}$$

Voici quelques valeurs:

$$\begin{array}{cccccccccc} x & -1.00 &-0.75&-0.50&-0.25&0.00... ...0\% & 7\%& 20\%& 34\%&50\%&66\%&80\%&93\%&100\% \ \end{array}$$

À noter que la formule ne s'inverse pas simplement (i.e. il n'y a pas d'expression élémentaire de h en fonction de v), donc si c'est le niveau de vin que l'on cherche, le plus simple est de résoudre l'équation numériquement. On trouve par exemple:

$$\begin{array}{cccccccccc} v/v0& 10\%& 20\%& 30\%& 40\%& 50\%... ...-0.49&-0.32&-0.16&-0.00& 0.16& 0.32& 0.49& 0.69 \ \end{array}$$