FOIRE AUX QUESTIONS DE fr.sci.maths                 CHAPITRE IV: ENIGMES

 


IV-4. Probabilité que 2 personnes
soient nées le même jour

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On réunit dans une pièce n personnes. On veut determiner, d'une part, quelle est la probabilité que deux de ces personnes soient nés le même jour et d'autre part, à partir de combien de personnes il y a plus d'une chance sur deux que l'évenement cherché soit réalisé. Enfin, on s'intérserra aux différentes méthodes de calcul et ce qu'il se passe quand les probablitilés ne sont pas équiprobables. a) Toutes les dates de naissance sont équiprobables. On supposera dans un premier temps que les dates d'anniversaires ont la même probabilité d'apparition. La bonne solution, comme souvent en probabilités, consiste à calculer la probabilité de l'évènement complémentaire. C'est à dire qu'on s'interesse à la probabilité qu'il n'y ait aucune coïncidence des dates d'anniversaires dans un groupe de n personnes. En effet la probabilité de l'évenement additioné à celle de son compléméntaire est égal à 1. Donc le calcul de la probabilité de l'événement est égal à un moins la probabilité de son complémentaire Le nombre total de cas possibles est 365 à la puissance n noté 365^n. Le nombre de cas favorables est le nombre de choix ordonnés de n dates parmi 365, soit: 365! / (365-n)! Donc, la probabilité qu'il n'y ait aucune coïncidence de dates d'anniversaires est : 365! / ((365-n)! * 365^n ) = produit[(365 - i)/365 , pour i=0 à n] = produit[1 - i/365 , pour i=0 à n] La probabilité P(n) qu'il y ait au moins une coïncidence est donc : P(n) = 1 - produit[1 - i/365 , pour i=0 à n] Il existe d'autres solutions, par exemple, la suivante. On nomme A, B etc. les personnes de l'assistance. Alors, il y a une coïncidence si A a le même anniversaire que B, ou que C,... Ou encore si B a le même anniversaire que C, etc. Le problème de cette méthode, c'est qu'il faut ensuite calculer la probabilité d'une union d'évènements, qui ne sont pas disjoints. Il faut faire la somme des probabilités des évènements, en enlever la somme des intersections 2 à 2, ajouter l somme des intersections 3 à 3, etc. (c'est la formule de Poincaré). C'est long et pénible. b) A partir de quelle valeur de n cete probabilité dépasse-t-elle 1/2 ? La seule solution est de calculer la probabilité pour différentes valeurs de n, et de rechercher la première valeur de P(n) dépassant 1/2. Cette valeur est 23. En effet, on trouve par le calcul: P(22)=0.4756953077 P(23)=0.5072972343 c) Les différentes méthodes de calcul pratique Si on veut calculer brutalement le nombre : 365! /((365-n)! * 365^n) avec une machine à calculer, on obtient un dépassement de capacité. Il faut donc réfléchir un peu pour faire le calcul, en tenant compte des possibilités informatiques. -- Si on dispose d'un logiciel de calcul mathématique, tel que Maple ou Mathématica, le problème de dépassement de capacité disparaît, et on utilise n'importe laquelle des expressions ci-dessus. -- Si on dispose d'une calculatrice programmable, il est possible de programmer, avec une boucle, le calcul de l'expression : produit[1 - i/365 , pour i=0 à n] Comme cette programmation dépend de la calculatrice et du langage utilisés, il est difficile d'en dire plus. -- Si l'on dispose d'un tableur, l'expression : produit[1 - i/365 , pour i=0 à n] est facile à calculer, en faisant un tableau de taille n, avec 3 colonnes : une colonne pour i, une colonne pour 1 - i/365, une colonne pour le produit. -- Si l'on n'a qu'une calculatrice scientifique, il est nécessaire d'utiliser une approximation. Il faut remarquer que produit[1 - i/365 , pour i=0 à n] = exp(somme[log(1 - i/365) , pour(i=1 à n)]) Or, si n est beaucoup plus petit que 365, on a : log(1 - i/365) ~ -i/365 Et comme la somme des n premiers entiers est égal à n*(n+1)/2. On a donc : produit[1 - i/365 , pour i=0 à n] ~ exp( -n*(n+1)/730) Cette approximation est relativement précise. Néanmoins, pour n=22, elle donne 0.5000017522 comme valeur de P, ce qui donne une réponse fausse pour la question (2). d) Probabilités inégales pour les dates de naissance Nous avons jusque là supposé que toutes les dates de naissance étaient de même probabilité. Que se passe-t-il si on se passe de cette hypothèse ? Les probabilités de coïncidence d'anniversaire sont augmentées. Cela paraît assez naturel puisque si ces probabilités sont très concentrées. par exemple, sur une seule date dans l'année, la probabilité de coïncidence se rapproche de 1. La difficulté de cette question tient au fait que l'on ne peut pas faire varier n'importe comment les probabilités des différentes dates de naissance. En effet, il faut que la somme de toutes ces probabilités fasse 1. Notons p_i la probabilité de naissance le jour i et A l'ensemble des jours de l'année. Alors, la probabilité de non-coïncidence est : ______ _____ \ | | ) | | p_i / | | ------ i dans S S inclus dans A tel que card(S)=n On s'intéresse aux jours 1 et 2. Les ensembles de cardinal n inclus dans A peuvent être classés en 3 catégories: les ensembles ne contenant ni 1 ni 2, les ensembles contenant 1 ou 2, mais pas les deux, les ensembles contenant 1 et 2. On note A' l'ensemble A, moins les éléments 1 et 2. La somme ci-dessus peut être réécrite : _____ _____ _____ _____ _____ _____ \ | | \ | | \ | | ) | | p_i +(p + p )* ) | | p_i + p * p * ) | | p_i / | | 1 2 / | | 1 2 / | | ----- i dans S ----- i dans S ----- i dans S S inclus S inclus S inclus dans A' tel que dans A' tel que dans A' et que card(S)=n card(S)=n-1 card(S)=n-2 Supposons que p1 et p2 soient différents, et montrons que l'on peut augmenter la probabilité de non-coïncidence. On remplace p1 et p2 par (p1 + p2)/2. Le premier des 3 termes ci-dessus n'est pas modifié, puisque ni p1 ni p2 n'y apparaissent. Le second non plus, car il ne dépend que de p1+p2. En revanche, le troisième terme est augmenté, car on remplace p1*p2 par ((p1 + p2)/2)^2 qui est plus grand. Donc, si les p_i sont différents, la probabilité de non-coïncidence n'est pas maximale. Par la suite, on démontre, qu'une fonction continue, sur un ensemble fermé borné atteint son maximum. Or, l'ensemble des vecteurs formés de 365 probabilités, dont la somme fait 1, est un ensemble fermé borné. Donc le maximum de la probabilité de coïncidence est atteint. Il ne peut être atteint que si tous les pi sont égaux, qui est donc le maximum. Donc, la probabilité de non coïncidence est maximale si les probabilités de jours de naissance sont égales. Par conséquent, si les probabilités sont égales, la probabilité de coïncidence d'anniversaire est minimale.