En existe-t-il une infinité?

Oui. En voici une démonstration par contradiction. Noter qu'après le Théorème de Pythagore, c'est sûrement le résultat mathématique pour lequel on connaît le plus de démonstrations différentes.

Supposons qu'il n'en existe qu'un nombre fini $n$, qui seraient $p_1,\ldots, p_n$. Le produit $p_1 \times \cdots \times p_n$ est divisible par chacun de ces premiers $p_1,\ldots, p_n$. Cela signifie que $p_1 \times \ldots \times p_n + 1$ n'est divisible par aucun d'entre eux. Donc le plus petit diviseur (excepté $1$) de ce nombre, qui est forcément un nombre premier, n'est ni $p_1$, ni $p_2$, ..., ni $\p_n$. Notre liste ne peut donc pas être complète, il existe donc une infinité de nombres premiers.