Polynôme et nombre premiers.

Il existe un polynôme à coefficients entiers à 26 variables tel que l'ensemble des nombres premiers coïncide avec l'ensemble des valeurs positives prises par

$$P(a,b,c,\ldots,x,y,z)$$

lorsque les 26 variables $a,b,c,\ldots,x,y,z$ parcourent $\N$. Ce polynôme s'écrit: $$\begin{split} P(a,\ldots,z) &= (k+2) \{ 1- [wz+h+j-q]^2 - [(gk... ...2 -2p-2)-x]^2-[z+pl(a-p)+ t(2ap\ & -p^2-1)-pm]^2 \} \end{split}$$

Rendre $P(a,\ldots,z)$ positif revient à annuler simultanément chacun des crochets dans le ``long'' facteur $\{1 - [\ldots]^2 - \cdots - [\ldots]^2\}$. Ce facteur se réduit alors à $1$, tandis que les conditions ainsi imposées à $k$ font que le facteur ``court'', à savoir $(k+2)$, est premier.

On peut lire dans l'Abrégé d'Histoire des Mathématiques de Jean Dieudonné[] l'existence d'un polynôme à $21$ variables ayant la même forme et les mêmes propriétés que le polynôme déjà cité.

Pour ceux qui voudraient s'initier à ce genre de mathématiques, on peut lire [] ou []. Voir également http://www.utm.edu/research/primes/La page Web des nombres premiers.