Le problème de la conjecture de Syracuse,
également connue sous les noms de problème de
Collatz, Kakutani, ou Ulam, se présente de manière
très simple. On se donne une entier naturel
plus grand que
. S'il est pair, on le divise par
deux, s'il est impair, on le multiplie par
et on lui
ajoute
(ce qui revient à lui appliquer la
fonction
). On conjecture que
l'on finit toujours par trouver la valeur
au fil
des calculs, valeur à partir de laquelle on restera
bloqué dans le cycle
.
Cependant, le fait que l'on retrouve toujours
n'a pas été démontré et même si
on est presque sûr que cela est vrai, quel que soit l'entier
choisi au départ, il n'est pas exclu
qu'il existe un entier
ne vérifiant pas cette
propriété, d'où le nom de:
«conjecture» de Syracuse.
Depuis plusieurs dizaines d'années, ce problème est activement étudié par les mathématiciens, mais n'a pas encore été résolu. Les recherches ont cependant bien avancé, comme nous allons le voir plus loin.