Présentation de la conjecture.

Le problème de la conjecture de Syracuse, également connue sous les noms de problème de Collatz, Kakutani, ou Ulam, se présente de manière très simple. On se donne une entier naturel $n$ plus grand que $1$. S'il est pair, on le divise par deux, s'il est impair, on le multiplie par $3$ et on lui ajoute $1$ (ce qui revient à lui appliquer la fonction $x \to 3x+1$). On conjecture que l'on finit toujours par trouver la valeur $1$ au fil des calculs, valeur à partir de laquelle on restera bloqué dans le cycle $1-4-2-1-\ldots$.

Cependant, le fait que l'on retrouve toujours $1$ n'a pas été démontré et même si on est presque sûr que cela est vrai, quel que soit l'entier $n$ choisi au départ, il n'est pas exclu qu'il existe un entier $n$ ne vérifiant pas cette propriété, d'où le nom de: «conjecture» de Syracuse.

Depuis plusieurs dizaines d'années, ce problème est activement étudié par les mathématiciens, mais n'a pas encore été résolu. Les recherches ont cependant bien avancé, comme nous allons le voir plus loin.