Une métaphore éclairante.

Comment souvent, les mathématiciens, en travaillant sur ce problème, ont senti que certaines idées étaient récurrentes etont introduit un vocabulaire adapté pour décrire les phénomènes étudiées. Imaginons que l'on vérifie la propriété pour $n=15$. On obtient: $46$, $23$, $70$, $35$, $106$, $53$, $160$, $80$, $40$, $20$, $10$, $5$, $16$, $8$, $4$, $2$, $1$.

On appelle cette suite finie d'entiers le VOL, ou la TRAJECTOIRE de $15$. Il faut imaginer une représentation de cette suite sur un graphique, l'axe des abscisses figurant l'indice de chaque entier dans la suite, l'axe des ordonnées indiquant l'entier correspondant.

On appelle ETAPE, un nombre de cette suite finie. Ici, par exemple, $80$ est une étape du vol de $15$. Si la conjecture est vraie, on remarque que la suite atteint une étape maximale, appelé ALTITUDE MAXIMALE du vol. Ici, l'altitude maximale était $160$.

On définit également la DUREE de chaque vol comme le nombre d'étapes à franchir avant d'arriver pour la première fois au chiffre 1, et la durée de VOL EN ALTITUDE comme la durée entre le moment où le vol commence, et celui où il repasse sous sa valeur initiale.