Des avancées intéressantes.

A partir de là, il est plus facile de comprendre les dernières avancées dans la résolution du problème. Il a été ainsi démontré que chacune des propositions suivantes était équivalente à l'énoncé de la conjecture de Syracuse elle-même:

C'est en gros l'énoncé de la conjecture en elle-même.

En effet, si ceci est vrai, alors on conclut sur notre problème par récurrence. Pour $n = 2$ on finit par retomber sous $2$, c'est à dire à $1$. Supposons que n et tous les entiers plus petits quelui vérifient la conjecture. Démontrons que c'est alors le cas de $n+1$: Le vol $n+1$ a une durée en altitude finie, donc, au cours des calculs, on arrive à n, ou à un entier inférieur, que l'on note $i$. Mais $i$ vérifie la conjecture, donc il aboutit au cycle $4-2-1$. Ainsi $n+1$ aboutit-il aussi à ce cycle. Réciproquement, si la conjecture est vraie, la propriété (2) est bien entendue vraie.

On considère le vol $n$. Après un certain nombre d'étapes, on atteint un dernier nombre pair. On le divise par deux, et on obtient un impair. Mais, si on applique $x \to 3x+1$ à cet impair, on obtiendra un pair, ce qui contredit le fait qu'on ait dépassé les dernier pair, sauf si le nombre impair que l'on vient de trouver est $1$. Alors on s'arrête dans les calculs, et n vérifie la conjecture, qui de ce fait est vraie.

Démonstration analogue.

Les mathématiciens désespèrent quant au fait de démontrer directement la conjecture elle-même, et pensent qu'il est moins difficile de montrer que l'une de ces propriétés, équivalentes au problème, est vraie.

On sait par ailleurs montrer que la propriété est vraie pour un très grand nombre d'entiers. On considère par exemple $n = 4k + 1$. En effectuant les calculs, on trouve qu'il devient $12k+4$, $6k+2$, $3k+1$, ce dernier entier étant plus petit que $n$. Pour $n = 4k$, on descend sous n dès la première étape du calcul. De même que pour $4k + 2$. Il suffirait donc de pouvoir montrer que $4k+3$ a lui aussi une durée de vol en altitude finie pour conclure que la conjecture est vraie! On peut affiner ce type de démonstration. En travaillant avec les entiers du type $65536k + i$ (avec $i$ compris entre $0$ et $65535$), tous les cas aboutissent sauf $1729$ cas, donc il ne reste que $2,6\%$ des nombres à étudier.

Des développements plus récents ont montré que pour $n$ assez grand, il existait une constante $\alpha$ telle que au moins $n^\alpha$ des entiers inférieurs à $n$ possèdent la propriété de Syracuse. En 1995, J. Lagarias et D. Applegate démontrèrent ce résultat pour la constante $\alpha=0,81$. Mais leurs calculs furent menés avec des ordinateurs et sont invérifiables à la main.