Si l'on étudie la façon dont les entiers évoluent en terme de parité au cours d'un calcul de Syracuse, on peut avoir une idée de son temps de vol. Ainsi, si l'on obtient souvent des nombres pairs, ils vont être divisés par deux, et on arrivera plus rapidement à 1 (en admettant qu'on arrive toujours à 1).
En tenant compte du fait qu'un nombre impair donne un nombre
pair et que ce dernier va être divisé par deux
ensuite, et qu'il y a dans l'ensemble des entiers naturels autant
de pairs que d'impairs, on estime, au moyen d'un calcul
probabiliste, qu'un entier donné est en moyenne
multiplié par 
lorsqu'on effectue une
étape du calcul. Ceci tend à confirmer la conjecture.
Expérimentalement, ce résultat de
est très bien confirmé, et le modèle
statistique semble performant.
Cependant, certains mathématiciens sont arrivés
à se poser la question de l'indécidabilité du
problème. Ils ont proposé quelques extensions du
problème: autoriser les entiers négatifs, ou
remplacer 
quand 
est impair par
avec 
un entier impair
donné. Pour certaines valeurs de 
, la
conjecture n'est pas vraie.
Mais c'est J. Conway qui a semé le doute. Plutôt
que de ce demander si un entier donné, au cours du calcul,
était pair ou impair, c'est à dire avait 
ou 
pour reste par la division euclidienne
par 
, il s'intéresse au reste par la
division euclidienne par un entier 
et propose
alors p formules à employer pour effectuer les calculs selon
ce que ce reste soit , , , 
, ou 
. Il a
montré que si alors on étendait la conjecture de
Syracuse, on arrivait à un problème
indécidable.
Finalement, on a vu que beaucoup de résultats tendent à nous faire penser qu'il est presque impossible que la conjecture soit fausse. Cependant, il est arrivé dans l'histoire que les mathématiciens aient une telle intuition très forte en faveur d'une conjecture et qu'elle soit en fait fausse. Les résultats de J. Conway montrant que des problèmes très similaires sont indécidables incitent donc à la prudence!