Opérations sur les cardinaux (finis).

Pour un ensemble fini, le cardinal est une notion intuitive, c'est simplement le nombre d'éléments de l'ensemble. Il appartient à $\N$.
Ex: $\card(\{1,2,3\}) = 3 = \card(\{6,15,28\})$

Ex: $A = \{1,2,3\}$, $\card A = 3$ et $B = \{8,9\}$, $\card B = 2$. Alors $A \cup B = \{1,2,3,8,9\}$ et $\card(A \cup B) = 5 = 3+2$.

Ex: $A = \{1,2,3\}$, $\card A = 3$ et $B = \{a,b\}$, $\card B = 2$. Alors $A \times B = \{ (1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b) \}$. Donc $\card (A \times B) = 6 = 3 \times 2.$

En effet: pour constituer une partie $B$ de $A$, il y a un choix à faire pour chaque élément de $A$: soit on le met dans $B$, soit on ne l'y met pas (2 possibilités). S'il y a n éléments dans $A$, cela donne $2^n$ possibilités pour $B$, soit $2^n$ parties différentes.

Ex: $A = \{1,2,3\}$, $\card A = 3$. Et l'on a

$$\pa(A) = \{ \emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{2,3\}, \{1,3\}, \{1,2,3\} \}$$

Donc $\card \pa(A) = 8 = 2^3$.

Ce sont ces propriétés (1), (2), (3) qu'on va vouloir généraliser aux ensembles infinis.

Pour un ensemble infini, l'intuition ne s'applique plus: il faut recourir à des définitions formelles. C'est Cantor qui, le premier, a fourni un système cohérent permettant de traiter les ensembles infinis.