Définition rigoureuse d'un ensemble infini:

Une bijection $f$ entre 2 ensembles $E$ et $F$ est une application qui fait correspondre à chaque élément de E un unique élément de $F$ et inversement.

S'il existe une bijection entre $E$ et $F$, on dit que $E$ et $F$ sont équipotents et on note: $E \sim F$.

Un ensemble est dit fini s'il est en bijection avec un ensemble $A_n = \{1, 2, 3, \ldots, n\}$ avec $n$ un entier naturel (et $A_0 = \emptyset$).

Alors $\card(E) = n$, et on retrouve la notion intuitive.

Un ensemble $E$ qui ne peut pas être mis en bijection avec un tel ensemble $A_n$ est dit infini.

Ex: $\N$ est un ensemble infini.