Pour simplifier, on va montrer que
n'est pas
dénombrable; ce qui implique, bien sûr, que
ne l'est pas. Supposons le contraire: on
peut alors énumérer
, c'est-à-dire qu'il
existe une suite
, qui contient tous les
réels de
.
écrivons le développement décimal (par
exemple) des premiers termes de en notant
le i-ème chiffre après
la virgule de
:
On forme maintenant le nombre v s'écrivant:
(On prend les chiffres de la diagonale principale ci-dessus) On
forme enfin le nombre en remplaçant chaque
chiffre de
par son prédécesseur (et
par
):
Alors le nombre , qui est bien défini,
n'est pas dans la liste des valeurs parcourues par (
). En effet:
(le premier chiffre de
après la virgule) est
différent de
(le premier chiffre de
après la virgule) donc
.
donc
...
donc
pour tout
.
On a donc construit un réel de
qui n'est pas dans
: contradiction avec l'hypothèse.
Une telle suite
parcourant tous les réels
de
n'existe donc pas, donc
est indénombrable.
La technique qui nous a permis de le montrer est classique, et
connue sous le nom de Procédé diagonal de
Cantor.