Rapport dénombrable/indénombrable.

Pour simplifier, on va montrer que $\lbrack0,1\lbrack$ n'est pas dénombrable; ce qui implique, bien sûr, que $R$ ne l'est pas. Supposons le contraire: on peut alors énumérer $\lbrack0,1\lbrack$, c'est-à-dire qu'il existe une suite $(u_n)_{n \in \N}$, qui contient tous les réels de $\lbrack0,1\lbrack$.

écrivons le développement décimal (par exemple) des premiers termes de $(u_n)$ en notant $u_{n,i}$ le i-ème chiffre après la virgule de $u_n$:

$$\begin{array}{ccc} u_1 & = & 0, u_{1,1} u_{1,2} u_{1,3} u_{1... ...1} u_{n,2} u_{n,3} u_{n,4} \ldots \ & \vdots \ \end{array}$$

On forme maintenant le nombre v s'écrivant:

$$v = 0, u_{1,1} u_{2,2} u_{3,3} u_{4,4} \ldots u_{i,i} \ldots$$

(On prend les chiffres de la diagonale principale ci-dessus) On forme enfin le nombre $w$ en remplaçant chaque chiffre de $v$ par son prédécesseur (et $0$ par $8$):

$$w = 0, w_1 w_2 w_3 w_4 \ldots$$

avec: $w_i = 8$ si $u_{i,i} = 0$ $w_i = u_{i,i} - 1$ sinon.

Alors le nombre $w$, qui est bien défini, n'est pas dans la liste des valeurs parcourues par ($u_n$). En effet: $w_1$ (le premier chiffre de $w$ après la virgule) est différent de $u_{1,1}$ (le premier chiffre de $u_1$ après la virgule) donc $w \neq u_1$. $w_2 \neq u_{2,2}$ donc $w \neq u_2$ ... $w_n \neq u_{n,n}$ donc $w \neq u_n$ pour tout $n$.

On a donc construit un réel de $\lbrack0,1\lbrack$ qui n'est pas dans $(u_n)$: contradiction avec l'hypothèse. Une telle suite $u_n$ parcourant tous les réels de $\lbrack0,1\lbrack$ n'existe donc pas, donc $\lbrack0,1\lbrack$ est indénombrable. La technique qui nous a permis de le montrer est classique, et connue sous le nom de Procédé diagonal de Cantor.