Quelques résultats sur les ensembles indénombrables.

Plaçons nous maintenant dans les réels.

Il est facile de trouver une bijection de $\lbrack0,1\rbrack$ dans $\lbrack0,2\rbrack$: $k : x \to 2x$ par exemple. De même, on peut toujours trouver une bijection entre 2 intervalles de $R$, ouverts ou fermés. Tous les intervalles de $R$ ont donc le même cardinal.

La fonction tangente, par exemple, fournit une bijection de $\rbrack-\pi/2,\pi/2\lbrack$ dans $R$. En appliquant ce qui précède, tout intervalle de $R$ a le même cardinal que $R$.

En effet on peut expliciter une bijection de $\lbrack0,1\lbrack^2$ dans $\lbrack0,1\lbrack$: Soit $(a,b)$ dans $\lbrack0,1\lbrack^2$. écrivons leur développement décimal: $a = 0, a_1 a_2 a_3 a_4\ldots$ $b = 0, b_1 b_2 b_3 b_4\ldots$ formons alors $c = 0, a_1 b_1 a_2 b_2 a_3 b_3 a_4 b_4 \ldots$

N'est-il pas alors clair que la fonction $l: (a,b) \to c$ est une bijection de $\lbrack0,1\lbrack^2 \to \lbrack0,1\lbrack$? En fait, pas tout a fait: il y a une lacune, expliquée dans la seconde partie, mais ça ne change pas le résultat

Grâce à ce qui précède on déduit que:

$$\card \R = \card \lbrack0,1\lbrack = \card (\lbrack0,1\rbrack^2) = \card \R^2$$

On peut démontrer la même chose avec n'importe quel exposant à la place de 2.

En effet, les fonctions partie réelle et partie imaginaire d'un complexe fournissent une bijection évidente de $C$ dans $\R^2$.

Avec ce qui précède on a donc $\card \C = \card \R^2 = \card \R$.