Quelques résultats sur les ensembles dénombrables.

On a vu $\card \N = \card \Z$, établissons quelques autres résultats:

On peut en effet compter les éléments de $\N^2 = \{ (a,b)\vert a,b \in \N\}$. Une bijection possible de $\N^2$ dans $\N$ est le ``comptage en diagonale'':

$$\begin{array}{ccc} (0,0) & \to & 0 \ (1,0) & \to & 1 \ (... ... (1,1) & \to & 4 \ (0,2) & \to & 5 \ & \vdots \end{array}$$

(On compte les points de $\N^2$ selon les diagonales bas-droite $\to$ haut gauche, en s'éloignant de l'origine). On peut même expliciter la bijection: $(p,q) \to (p+q) (p+q+1)/2 + q$

De même, on a $\card (\Z^2) = \card \Z.$

Essentiellement, une fraction $p/q$ est un couple d'entiers relatifs $(p,q)$. Cette égalité n'est donc pas particulièrement surprenante quand on a admis $\card \Z^2 = \card \Z.$

Formellement, la démonstration est un peu technique: elle est donc donnée dans la deuxième partie.

On a donc: $\card \N = \card \Z = \card \Q$.

Ce cardinal est noté $\aleph_0$footnote$\aleph$ (aleph) est la première lettre de l'alphabet hébreu.

Tous les ensembles infinis qui ont le même cardinal que $\N$ sont dits dénombrables.

Au sens large, dénombrable signifie aussi fini ou dénombrable . Enfin, un ensemble qui n'est ni fini ni dénombrable est dit... indénombrable.