Explications

L'erreur vient de la définition de la dérivée. $x^2 = x + x + x +\cdots+ x$, $x$ fois n'a de sens que si $x$ est entier. Or, pour dériver en un point, il faut considérer un voisinage de ce point (grosso-modo un intervalle ouvert contenant ce point) qui, forcément, sera loin de ne contenir que des entiers.

Par exemple, si on essaye d'appliquer cela en $x = 3$:

• Il est exact que $3^2 = 3 + 3 + 3$.
• Par contre, pour $x$ proche de $3$ mais $x \neq 3$, $x^2 \neq 3 x$
• la dérivée en $x$ d'une fonction ne dépend pas de la valeur de la fonction en $x$ mais de son comportement local et le comportement de $x^2$ en $3$ est très différent de celui de $3x$.

  De plus, si tu dérives $x+\cdots+x$ ($x$ fois), tu ne différencies pas le $x$ fois , que tu considères donc comme une constante. Quand j'étais au lycée on m'avait posé ce problème et j'avais trouvé un moyen (tordu et absurde) de retomber sur ses pattes, en ajoutant $x+\cdots+x$ ('dérivée de $x$' fois) , comme ça on a aussi dérivé le $x$ fois .