Inscription d'un cercle dans un polygône.

Cette méthode est très classique. On construit un cercle de diamètre 1. Son périmètre est donc égal $\pi$, à qui est la valeur cherchée.

On construit un polygône à $n$ côtés inscrit dans le cercle, et un second polygône à $n$ côtés semblable au premier, mais circonscrits au cercle. Il est clair que $\pi$ est compris entre les périmètres des deux polygônes.

Avec un polynôme à 96 côtés, Archimède (-287;-212) aboutit à l'encadrement suivant: $3 + \frac{1}{7} < \pi < 3 + \frac{10}{71}$.

La précison est d'autant plus grande que $n$ est élevé: à la limite (quand n est infini), les polygônes inscrits et circonscrits sont des cercles. Cependant cette méthode a une convergence très lente.

Ptolemée (II siècle) donne $\pi= 3+17/120$ On remarque qu'en occident les progès sont lents (Archimède propose à peine moins bien). Ceci est du au fait que la notation décimale est lentement adoptée, les calculs restent pénibles.