Quadrature du cercle.

Une autre façon de déterminer $\pi$ serait de construire un carré et un cercle de même surface. On pourrait alors calculer indépendamment le rayon $r$ du cercle et le côté $a$ du carré, et l'égalité des aires donnerait $\pi=\frac{a^2}{r^2}$. Ce problème, appelé quadrature du cerlce a été formulé en premier par Hippocrate de Chios ($V^e$ siècle avant notre ère).

Malheureusement, $\pi$ est transcendant (démonstration effectuée par Lindermam en 1882) et la règle et le compas ne perment ne tracer que des nombres algébriques (comme l'a montré le mathématcien Pierre Wantzel en 1837): il est donc impossible de dessiner (à la règle et au compas) un carré et un cercle de même surface.