Le point de vue Néperien.

On pose $\ln(e) = 1$. Il suffit d'expliquer comment on définit naturellement la fonction logarithme, et tu comprendras pourquoi $e$ est $e$.

La fonction ln se définit (à une constante près) par la propriété:

$$\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y).$$

En dérivant cette relation, on vérifie que: $y \ln'(xy))= \ln'(x)$. Donc: $\ln'(y) = \ln'(1)/y$. On définit donc la fonction $\ln$ comme étant la seule fonction dérivable telle que:

• $\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)$
• $\ln'(1) = 1$.

Puis on définit $e$ par: $\ln(e) = 1$.

L'intérêt de cette définition de la fonction $\ln$: on a de jolis développements en série entière, la fonction exp, inverse de la fonction $\ln$ vérifie: $y'=y$ et $y(0)=1$ (c'est un théorème).

Tiens, d'ailleurs, on peut aussi décider de définir d'abord la fonction $\exp$. Les théorèmes deviennent des définitions et les définitions deviennent des théorèmes: