Généralisation.

Liouville a montré en 1844 qu'un nombre algébrique d'ordre $d$ n'est pas approchable à une vitesse strictement supérieure à $d$.

Il s'est servi de ce résultat (de démonstration élémentaire) pour construire effectivement une infinité (non dénombrable) de nombres transcendants.
Exemple: $\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{10^{k!}}$

Roth a mis un point final à cette histoire en prouvant qu'aucun nombre algébrique de degré $> 1$ (c-à-d irrationnel) n'est approchable à un ordre strictement supérieur à $2$.

Comme par ailleurs les réduites de la fraction continue pour ce nombre (leur suite est illimitée, puisqu'il s'agit d'un irrationnel) l'approchent précisément à l'ordre $2$, ce théorème est optimal. Il a valu à Roth l'une des médailles Fields de 1955.