On prendra comme définition de la puissance, la formule: pour tous nombres réels (avec ) . Une approche par continuité pose problème. En effet, on peut choisir trois fonctions ; ou pour approcher par continuité (en passant à la limite) la valeur .
Or l'on a, pour tout nombre réel non-nul . En prolongeant, par continuité, cette fonction quand tend vers zéro, on trouve: .
Si pour tout nombre réel non-nul, on prolonge par continuité la fonction pour . Et quand y tend vers zéro, on trouve: .
En outre, pour tout nombre réel strictement positif, on a
On cherchera, alors, la limite en zéro par valeurs positives, notée . Et l'on a donc:
La question se pose alors: quelle valeur choisir pour ?