Définition par continuité.

On prendra comme définition de la puissance, la formule: pour tous nombres réels $x,y$ (avec $x>0$) $x^y = \exp(y \ln(x))$. Une approche par continuité pose problème. En effet, on peut choisir trois fonctions $\{ x \to x^0 \}$ ; $\{y \to 0^y\}$ ou $\{x \to x^x\}$ pour approcher par continuité (en passant à la limite) la valeur $0^0$.

Or l'on a, pour tout nombre réel $x$ non-nul $x^0 = \exp(0 \ln(x)) = 1$. En prolongeant, par continuité, cette fonction quand $x$ tend vers zéro, on trouve: $0^0 = 1$.

Si pour tout nombre réel $y$ non-nul, on prolonge par continuité la fonction $y \to x^y$ pour $x=0$. Et quand y tend vers zéro, on trouve: $0^0=0$.

En outre, pour tout nombre réel $x$ strictement positif, on a

$$x^x = \exp(x \ln(x))$$

On cherchera, alors, la limite en zéro par valeurs positives, notée $0^+$. Et l'on a donc:

$$\lim_{x \to 0^+} x^x = \lim_{x \to 0^+} \exp(x \ln(x)) = 1$$

car $\lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0$ et $\exp(0)=1$.

La question se pose alors: quelle valeur choisir pour $0^0$?