Problèmes liés à cette définition.

Soit $f$ une fonction continue définie sur un intervalle $I$ contenant $0$ et telle que pour tout $x$ appartenant à $I$, $f(x) > 0$. Soit $g$ une fonction définie sur un intervalle $J$ contenant $0$. On supposera également que

$$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} g(x) = 0$$

On peut alors écrire pour tout $x$ appartenant à $I \cap J$

$$f(x)^{g(x)} = \exp( g(x) \ln(f(x)) )$$

On constatera aisément que l'on est en présence d'une forme indéterminée et donc qu'en choisissant convenablement $f$ et $g$ on peut trouver n'importe quelle valeur réelle positive finie, en passant à la limite par valeurs supérieures.

Par exemple, soit $A$ un réel strictement positif. Il suffit de choisir $f(x) = \exp(-A/x)$ et $g(x) = x + x^2$ On a bien les conditions voulues et on a

$$f(x)^{g(x)} = \exp( (x + x^2) \ln( \exp(-A/x) ) = \exp(-A (x+x^2)/x)$$

C'est-à-dire: $f(x)^{g(x)} = \exp( -A (1+x) )$. Et de là:

$$\lim_{x \to 0^+} f(x)^{g(x)} = \lim_{x \to 0^+} \exp( -A (1+x) ) = \exp(-A)$$

Ainsi en choisissant convenablement $A$, on peut trouver comme limite n'importe qu'elle valeur réelle comprise entre $0$ et $1$. En gardant $f$ et en prenant $g(x)= -( x + x^2)$ on va trouver une limite supérieure à $1$.

On notera, néanmoins, que si l'on choisit une fonction $\{u: \R \to \R^+ \}$ telle que sa limite soit nulle quand $x$ tend vers zéro par valeurs positives, on a alors: $u(x)^{u(x)} = \exp( u(x) \ln(u(x)) )$ et par composition des limites on trouve:

$$\lim_{x \to 0^+} u(x)^{u(x)} = \lim_{x \to 0^+} \exp( u(x) \ln(u(x)) ) = \exp(0) = 1$$

En effet, l'on a bien: $\lim_{x \to 0^+} u(x) \ln(u(x)) = \lim_{x \to 0^+} X \ln(X)$ en effectuant le changement de variable $X = u(x)$.