Approche algébrique.

On peut, pour essayer de comprendre pourquoi $0^0 = 1$, revenir à la définition donnée dans les petites classes de la fonction puissance.

Soit maintenant comme définition de la puissance: $x^n = x \times x \times \cdots \times x$ ($n$ fois)

Le nombre réel $x$ est multiplié n fois par lui-même avec $n$ un nombre entier. Alors cette définition nous amène à la relation suivante:

$$\text{Pour tous entiers }n, m \text{ on a: } x^{n + m} = (x^n)(x^m)$$ (1.1)

Si on prend $m=0$ et $n$ différent de zéro, alors on a $x^n = (x^0)(x^n)$. Si $x$ est différent de zéro, alors cela implique que $x^0 = 1$. Il est alors très tentant d'étendre la relation à $x=0$, et donc: $0^0 = 1$. On notera, cependant, que si l'on pose $0^0=0$, alors la relation reste vraie.

De plus la relation (1.1) implique la relation suivante:

$${x^n}^m = x^{nm}$$ (1.2)

Encore une fois, si on prend $n=0$ dans la relation précédente on trouve ${x^0}^m = x^0$. Et il est encore très tentant, pour $x$ non nul, de prendre $x^0 = 1$ et d'étendre cette relation à $x=0$. Mais on peut tout à fait prendre comme convention $0^0=0$, sans que la relation en soit modifiée.