Nous avons jusque là supposé que toutes les dates de naissance étaient de même probabilité. Que se passe-t-il si on se passe de cette hypothèse?
Les probabilités de coïncidence d'anniversaire sont
augmentées. Cela paraît assez naturel puisque, si ces
probabilités sont très concentrées, par
exemple sur une seule date dans l'année, la
probabilité de coïncidence se rapproche de .
La difficulté de cette question tient au fait que l'on ne
peut pas faire varier n'importe comment les probabilités des
différentes dates de naissance. En effet, il faut que la
somme de toutes ces probabilités fasse .
Notons la probabilité de naissance le
jour
et
l'ensemble des
jours de l'année. Alors la probabilité de
non-coïncidence est:
On s'intéresse aux jours et
. Les ensembles de cardinal
inclus dans
peuvent être classés en
catégories:
On note l'ensemble
, moins les
éléments
et
. La somme
ci-dessus peut être réécrite:
Supposons que et
soient
différents, et montrons que l'on peut augmenter la
probabilité de non-coïncidence. On remplace
et
par
.
Le premier des termes ci-dessus n'est pas
modifié, puisque ni
ni
n'y apparaissent. Le second non plus, car il ne
dépend que de
. En revanche, le
troisième terme est augmenté, car on remplace
par
qui est plus
grand.
Donc, si les sont différents, la
probabilité de non-coïncidence n'est pas maximale.
Par la suite, on démontre qu'une fonction continue sur un
ensemble fermé borné atteint son maximum. Or,
l'ensemble des vecteurs formés de
probabilités, dont la somme fait
, est un
ensemble fermé borné. Donc le maximum de la
probabilité de coïncidence est atteint. Il ne peut
être atteint que si tous les pi sont égaux, qui est
donc le maximum. Donc, la probabilité de non
coïncidence est maximale si les probabilités de jours
de naissance sont égales.
Par conséquent, si les probabilités sont égales, la probabilité de coïncidence d'anniversaire est minimale.