Probabilités inégales pour les dates de naissance.

Nous avons jusque là supposé que toutes les dates de naissance étaient de même probabilité. Que se passe-t-il si on se passe de cette hypothèse?

Les probabilités de coïncidence d'anniversaire sont augmentées. Cela paraît assez naturel puisque, si ces probabilités sont très concentrées, par exemple sur une seule date dans l'année, la probabilité de coïncidence se rapproche de $1$.

La difficulté de cette question tient au fait que l'on ne peut pas faire varier n'importe comment les probabilités des différentes dates de naissance. En effet, il faut que la somme de toutes ces probabilités fasse $1$.

Notons $p_i$ la probabilité de naissance le jour $i$ et $A$ l'ensemble des jours de l'année. Alors la probabilité de non-coïncidence est:

$$\sum_{\stackrel{S \in A}{\vert S\vert=n}} \prod_{i \in S} p_i$$

On s'intéresse aux jours $1$ et $2$. Les ensembles de cardinal $n$ inclus dans $A$ peuvent être classés en $3$ catégories:

• les ensembles ne contenant ni $1$ ni $2$,
• les ensembles contenant $1$ ou $2$, mais pas les deux,
• les ensembles contenant $1$ et $2$.

On note $A'$ l'ensemble $A$, moins les éléments $1$ et $2$. La somme ci-dessus peut être réécrite:

$$\sum_{\stackrel{S \in A'}{\vert S\vert=n}} \prod_{i \in S} ... ...m_{\stackrel{S \in A'}{\vert S\vert=n-2}} \prod_{i \in S} p_i$$

Supposons que $p_1$ et $p_2$ soient différents, et montrons que l'on peut augmenter la probabilité de non-coïncidence. On remplace $p_1$ et $p_2$ par $\frac{p_1 + p_2}{2}$.

Le premier des $3$ termes ci-dessus n'est pas modifié, puisque ni $p_1$ ni $p_2$ n'y apparaissent. Le second non plus, car il ne dépend que de $p_1+p_2$. En revanche, le troisième terme est augmenté, car on remplace $p_1 p_2$ par $(\frac{p_1 + p_2}{2})^2$ qui est plus grand.

Donc, si les $p_i$ sont différents, la probabilité de non-coïncidence n'est pas maximale.

Par la suite, on démontre qu'une fonction continue sur un ensemble fermé borné atteint son maximum. Or, l'ensemble des vecteurs formés de $365$ probabilités, dont la somme fait $1$, est un ensemble fermé borné. Donc le maximum de la probabilité de coïncidence est atteint. Il ne peut être atteint que si tous les pi sont égaux, qui est donc le maximum. Donc, la probabilité de non coïncidence est maximale si les probabilités de jours de naissance sont égales.

Par conséquent, si les probabilités sont égales, la probabilité de coïncidence d'anniversaire est minimale.