Les différentes méthodes de calcul pratique.

Si on veut calculer brutalement le nombre: $\frac{365!}{(365-n)! \times 365^n}$ avec une machine à calculer, on obtient un dépassement de capacité. Il faut donc réfléchir un peu pour faire le calcul, en tenant compte des possibilités informatiques.

Si on dispose d'un logiciel de calcul mathématique, tel que Maple ou Mathématica, le problème de dépassement de capacité disparaît, et on utilise n'importe laquelle des expressions ci-dessus.

Si on dispose d'une calculatrice programmable, il est possible de programmer, avec une boucle, le calcul de l'expression:

$$\prod_{i=0}^{n-1} 1 - \frac{i}{365}$$

Comme cette programmation dépend de la calculatrice et du langage utilisés, il est difficile d'en dire plus.

Si l'on dispose d'un tableur, l'expression: $\prod_{i=0}^{n-1} 1 - \frac{i}{365}$ est facile à calculer en faisant un tableau de taille $n$, avec $3$ colonnes: une colonne pour $i$, une colonne pour $1 - \frac{i}{365}$, une colonne pour le produit.

Si l'on n'a qu'une calculatrice scientifique, il est nécessaire d'utiliser une approximation. Il faut remarquer que

$$\prod_{i=0}^{n-1} 1 - \frac{i}{365} = \exp(\sum_{i=0}^{n-1}( \log(1 - \frac{i}{365} )$$

Or, si $n$ est beaucoup plus petit que $365$, on a: $\log(1 - \frac{i}{365}) \sim - \frac{i}{365}$. Et comme la somme des $n$ premiers entiers est égal à $\frac{n(n+1)}{2}$.

On a donc:

$$\prod_{i=0}^{n-1} 1 - \frac{i}{365} \exp( -n \frac{n-1}{730} )$$

Cette approximation est relativement précise. Elle donne les valeurs suivantes pour $\p_{22}$ et $\p_{23}$, ce qui donne une réponse juste pour la question (2) malgré la très forte proximité de $\p_{23}$ avec $1/2$:

$$\begin{array}{ccc} \p_{22} & \sim & 0.4689381108 \ \p_{23} & \sim & 0.5000017522 \ \end{array}$$