Toutes les dates de naissance sont équiprobables.

On supposera dans un premier temps que les dates d'anniversaire ont la même probabilité d'apparition. La bonne solution, comme souvent en probabilités, consiste à calculer la probabilité de l'événement complémentaire. C'est à dire qu'on s'intéresse à la probabilité qu'il n'y ait aucune coïncidence des dates d'anniversaire dans un groupe de n personnes.

En effet, la probabilité d'un événement additionnée à celle de son complémentaire est égale à $1$. Donc la probabilité de l'événement est égale à un moins la probabilité de son complémentaire.

Le nombre total de cas possibles est $365$ à la puissance $n$ noté $365^n$. Le nombre de cas favorables est le nombre de choix ordonnés de n dates parmi $365$, soit: $\frac{365!}{(365-n)!}$ Donc, la probabilité qu'il n'y ait aucune coïncidence de dates d'anniversaire est:

$$\frac{365!}{(365-n)! \times 365^n } = \prod_{i=0}^{n-1} \frac{365 - i}{365} = \prod_{i=0}^{n-1} 1 - \frac{i}{365}$$

La probabilité $\p_n$ qu'il y ait au moins une coïncidence est donc:

$$\p_n = 1 - \prod_{i=0}^{n-1} 1 - \frac{i}{365}$$

Il existe d'autres solutions, par exemple, la suivante. On nomme $A$, $B$ etc. les personnes de l'assistance. Alors, il y a une coïncidence si $A$ a le même anniversaire que $B$, ou que $C,\ldots$ Ou encore si $B$ a le même anniversaire que $C$, etc. Le problème de cette méthode, c'est qu'il faut ensuite calculer la probabilité d'une union d'événements qui ne sont pas disjoints. Il faut faire la somme des probabilités des évènements, en enlever la somme des intersections $2$ à $2$, ajouter la somme des intersections $3$ à $3$, etc. (c'est la formule de Poincaré). C'est long et pénible.