Les nombres et les polynômes de Bernoulli.

Cet article fournit des informations sur les nombres de Bernouilli ainsi que quelques considérations sur les polynômes attribués au même mathématicien. Les démonstrations ne sont pas réellement faites mais des pistes sont fournies.

Les polynômes de Bernoulli jouent un rôle central dans la formule d'Euler-Mac Laurin qui a de nombreuses applications en analyse numérique (accélération de la convergence de certaines séries numériques, intégration numérique...entre autres)

Je conseille à ceux qui veulent s'y plonger de le faire avec une feuille de papier pour noter les choses au fur et à mesure...
...après avoir imprimé l'ensemble.

En effet le format texte constitue vite un frein à la compréhension...

Habituellement on définit les polynômes de Bernoulli $B_n$ par $B_0(X) = 1$ et $B_n(1) = B_n(0)$ pour $n \leq 2$. Alors $B_(n+1)$ a pour dérivé $B_n$ et l'on pose alors $b_n = B_n(0)$ On prouve facilement que $B_n$ est ainsi parfaparagraphDémonstration.nt défini...Les nombres de Bernoulli sont les $i! b_i$ Notons que des définitions variantes existent.

On en déduit les propriétés suivantes:

1. $B_n(X) = \sum_{j=0}^n b_{n-j} \frac{X^j}{j!}$
2. Pour tout $n$ et tout $X$: $B_n(1-X) = (-1)^n B_n(X)$
3. Pour tout $p>0$, tout $n$, tout $X$, on a
   
   $$B_n(X) = p^{n-1} \sum_{j=0}^{p-1} B_n(\frac{x+j}{p})$$
   
   
4. $B_(n+1) (X+1) - B_(n+1) (X) = (X^n)/n!$
5. $1^n + 2^n + \ldots M^n = n! ( B_{n+1}(m+1) - B_{n+1}(0) )$