Preuves:

1. Taylor pour les polynômes...
2. On veut que $B_n$ soit égal à un certain polynôme...On montre que ce polynôme vérifie la définition de $B_n$...
3. pareil qu'au 2.
4. Par récurrence...
5. avec 4.

Les premiers nombres de Beroulli sont $1$; $-\frac{1}{2}$; $\frac{1}{6}$; $0$; $\frac{-1}{30}$; $0$; $\frac{1}{42}$; ...De $B_n(1) = B_n(0)$ on déduit $b_n = - \sum_{j=1}^n \frac{b_(n-j)}{(j+1)!}$ égalité qui permet de trouver une formule de récurrence pour les nombres de Bernoulli.