Antiquité.

La notion moderne d'équation n'émerge, en fait, qu'assez tardivement dans l'Histoire, et ce que l'on appelle algèbre dans l'Antiquité se limite dans une large mesure à la résolution de problèmes de degré $n$, c'est-à-dire de problèmes numériques concrets visant à déterminer une certaine quantité, qui pour nous dépend algébriquement des données.

À cet égard, les mathématiciens Mésopotamiens sont particulièrement avancés. Les Babyloniens, par exemple, sans pour autant dégager de formule générale , disposent de méthodes systématiques de résolution des problèmes de degré 1 et 2, dont certains mettent même en jeu des systèmes, linéaires (ou non). Dans quelques cas particuliers, ils résolvent même des problèmes de degré 3 et 4.

Par comparaison, l'algèbre égyptienne de la même époque (début du $II^e$ millénaire avant notre ère) peut paraître assez rudimentaire. Pénalisés par un système de numération inadapté et des notations lourdes (pour les fractions par exemple), les égyptiens résolvent au cas par cas des problèmes du premier degré uniquement, et cela par des méthodes qui nous sembleraient de peu de rigueur.

Les Grecs eux-mêmes, à cause peut-être de la fameuse crise des irrationnels, se méfient, un peu, de l'algèbre et l'ont peu fait progresser. Ni les Pythagoriciens (plus préoccupés des entiers), ni les successeurs d'Euclide (qui se consacrent avant tout à la géométrie) ne s'y sont beaucoup intéressés. Le dixième livre des élémentsconstitue néanmoins le fondement de nombreuses recherches algébriques du Moyen-âge.

Exception éclatante : Diophante d'Alexandrie, mathématicien du $III^e$ siècle après J.-C., dont les Arithmétiquesconstituent peut-être le premier traité d'algèbre classique . Il y introduit en effet la notion d'équation algébrique, c'est-à-dire la relation entre les puissances successives d'un nombre inconnu (arithmos) qu'il s'agit de déterminer par transformations successives de la relation. Sa démarche déductive est certes en recul par rapport à la méthode axiomatique d'Euclide, mais il se permet ainsi de considérer les fractions et les irrationnels comme des nombres à part entière, ce qui renforce la généralité de ses méthodes.