Du $IV^e$ au $XIV^e$ siècle

S'inspirant peut-être de la numération chinoise, les Indiens inventent un système décimal de position comportant le zéro et les relatifs négatifs dès le $IV^e$ ou le $V^e$ siècle après J.-C. et qui permet des notations algébriques bien plus élégantes.

Ainsi, au $VII^e$ siècle, le mathématicien Brahmagupta, dans son traité Brahmasphutasiddhantaénonce-t-il des règles générales de transformation des expressions algébriques, contenant éventuellement des quantités négatives ou nulles, et donne explicitement la solution de l'équation générale de degré 2. Au $XII^e$ siècle, Bhaskara (à ne pas confondre avec son homonyme contemporain de Brahmagupta) généralise ces méthodes, qu'il étend à des équations particulières de degré supérieur à 2. Il tient compte, en outre, de la seconde racine des équations de degré 2.

L'algèbre arabe fait, en quelque sorte, la synthèse des mathématiques grecques et indiennes, et constitue le sujet de prédilection des mathématiciens arabes. Au $IX^e$ siècle, al-Khwarizmi remarque que la transformation des équations constitue une théorie à part entière, dont il décrit les principes dans le Kitab al jabr wa-l-muqabla dont l'algèbre tire son nom. Il reprend les méthodes de Diophante et la numération indienne, qu'il contribue à populariser. Néanmoins, il est encore gêné par les nombres négatifs, ce qui n'est pas le cas de son principal successeur, Abu Kamil.

Forts des progrès de l'algèbre arabe vers l'abstraction, al-Karaji à la fin du $X^e$ siècle et al-Samaw'al au XIIe siècle développent une puissante arithmétique des polynômes et des fractions rationnelles : multiplication, division, et même extraction de racines et une sorte de développement limité en $O(1/x^n)$. Dès le XIe siècle, l'équation cubique suscite par ailleurs un vif intérêt. Le persan Umar al-Khayyam donne notamment de nombreux éléments d'une étude géométrique, voire en des termes modernes analytique , du problème.

Les travaux de Léonard de Pise (le célèbre Fibonacci), au début du $XIII^e$ siècle diffusent en Europe le savoir algébrique arabe. Son Liber Abaci constitue la source principale des nombreuses recherches de ses successeurs. De plus, il propose avec l'empereur Frédéric II des sortes de défis scientifiques sous la forme de problèmes réunis dans le Liber Quadratorum et comprenant la résolution de plusieurs équations de degré $3$.