La Renaissance.

à la Renaissance, les mathématiques, et surtout l'algèbre, se développent rapidement en Italie, sur la base de l'héritage gréco- arabe. Les premiers progrès s'effectuent sur le terrain du symbolisme, de plus en plus concis et suggestif. Nicolas Chuquet et Luca Pacioli présentent sous une forme concise les résultats classiques. C'est celui-ci qui introduit la notation cossique des équations algébriques. Jusqu'au XVIIe siècle, beaucoup s'attachent à perfectionner un symbolisme, qui atteint à peu près sa forme actuelle avec Descartes...

Mais le grand apport des mathématiciens italiens à l'algèbre est la résolution par radicaux des équations de degré $3$ et $4$à la toute fin du $XV^e$ siècle, Scipione dal Ferro parvient à l'expression par radicaux des racines de l'équation cubique sans terme en $x^2$ (ce qui est équivalent à la résolution complète, mais il semblerait qu'il ne le savait pas). Quoi qu'il en soit, dans une tradition médiévale un peu surannée, il choisit de garder sa découverte secrète. Il la confie à sa mort à son élève Fior qui ne la divulgue pas. En 1535, Tartaglia, établi à Venise comme professeur de mathématiques, propose une méthode de résolution des équations cubiques sans terme en $x$, mais Fior lui en conteste la priorité. Ce genre de querelles se réglaient en des défis. Fior met Tartaglia au défi de résoudre l'équation sans terme en $x^2$, et celui-ci y parvient, assurant sa victoire.

Quelques années plus tard, un médecin et mathématicien milanais, Cardan, vient trouver Tartaglia pour obtenir l'autorisation de publier ses formules dans sa grande somme mathématique, l'Ars Magna[Car45]. Tartaglia refuse, mais devant l'insistance de Cardan, il consent à lui exposer sa méthode, avec la promesse qu'elle ne sera pas publiée. Malgré tout, les fameuses formules de Cardan apparaissent bien dans l'Ars Magna, et une violente querelle s'ensuit qui ne prend fin qu'en 1548. On trouve également dans le traité de Cardan la solution de l'équation générale de degré $4$ que l'on peut attribuer avec certitude à l'élève de Cardan, Ferrari (auquel on pense en fait devoir un grand nombre des résultats publiés par Cardan)...

Une particularité de la méthode de Tartaglia est de faire intervenir, au cours du calcul, des racines carrés de nombres négatifs, ce qu'il avait du mal à prendre en considération. Le premier à avoir véritablement admis les complexes en tant que nombres, plutôt qu'artifices calculatoires, est Bombelli. Il présente les règles générales de calcul sur les complexes et toutes les récents progrès de l'algèbre peu avant sa mort, dans Algebra, parta maggiore dell'arithmetica[Bom72].