Vers l'algèbre moderne.

Après le $XVI^e$ siècle, les mathématiciens semblent se désintéresser de l'algèbre, pour se consacrer plutôt à la géométrie et à la toute jeune analyse.

Les diverses tentatives de résolution de l'équation de degré $5$ sont infructueuses, de même que les essais de démonstration de la conjecture de Girard, selon laquelle toute équation algébrique de degré $n$ admet exactement $n$ racines complexes distinctes ou confondues. Étrangement, le rigoureux Descartes semble avoir considéré ce résultat comme évident.

En tous les cas, l'algèbre pure fait peu de progrès jusqu'à la seconde moitié du $XVII^e$ siècle. Il y a cependant des recherches liées à l'analyse, sur l'approximation des racines par exemple (recherches de Rolle, de Newton). Le tournant se situe néanmoins aux environs de 1770, lorsque Lagrange et Vandermonde entament des recherches sur la Théorie des Substitutions.

Lagrange saisit, en particulier, l'importance de la notion de permutations sur la famille des racines d'une équation algébrique, et développe avec Waring l'idée selon laquelle, si la conjecture de Girard est vraie, alors les coefficients d'une équation algébrique sont au signe près les fonctions symétriques élémentaires des racines (Viète, puis Girard avaient remarqué ce résultat longtemps auparavant, dans quelques cas particuliers). Ce résultat lui permet de présenter une méthode élégante de résolution des équations de degré $3$ et $4$. Vandermonde étudie les fonctions invariantes par permutations circulaires, et en déduit les solutions par radicaux de certaines équations particulières (au groupe de Galois cyclique) telles que $x^{11} - 1 = 0$.

Une nouvelle étape est franchie avec la première démonstration rigoureuse de la conjecture de Girard, publiée par Gauss en 1799. D'Alembert s'y était essayé avant lui, mais sa démonstration était incomplète. Gauss perçoit par ailleurs l'importance du groupement des opérations (selon l'expression de Galois) et dans ses recherches sur les formes quadratiques et sur l'arithmétique modulaire se dégagent déjà les concepts qui fondent l'algèbre moderne. Il développe de plus les idées de Vandermonde, et montre que le polygône à dix-sept côtés est constructible à la règle et au compas.

Ruffini, appliqué à l'étude de la théorie des substitutions, effectue des recherches sur les valeurs prises par une fonction de cinq variables par toutes les permutations de ces variables. Il parvient à des résultats, généralisés par Cauchy, qui l'amènent à conclure, en 1813, à l'impossibilité de résoudre l'équation de degré $5$ par radicaux.

Ses arguments ne suffisent pas pour une démonstration rigoureuse, cependant Abel apporte des arguments plus probants sur ce point, et parvient, aux alentours de 1826, à l'impossibilité de la résolution par radicaux de l'équation générale de degré premier supérieur ou égal à $5$.

Cependant, son raisonnement présente des difficultés, et il maîtrise mal ses méthodes, qui ne se formalisent correctement que dans le cadre de la théorie des corps (laquelle n'émerge que bien plus tard). Galois est le premier à adopter une méthode complètement générale, en introduisant la notion de groupe d'une équation (l'ensemble des permutations^2.1des racines conservant les relations algébriques entre celles-ci).

Dans des mémoires successifs rédigés à partir de 1830, il dégage le critère général de résolubilité par radicaux d'une équation algébrique. Ainsi Galois clôt-il définitivement la question essentielle de l'algèbre classique, tout en posant, plus encore que Gauss, les jalons de l'algèbre moderne.