$O_n$ est de dimension $n$

Dans $Rn$ rapporté à sa base canonique, $f$ est l'endomorphisme de matrice $A$. Le sous-espace vectoriel $G$ engendré par le vecteur $(1,1,1,1...1)$ et l'hyperplan $H$ orthogonal au vecteur $(1,1,1,1...1)$ sont stables par $f$. La première stabilité traduit la linéarité des lignes et la seconde celle des colonnes de A.

L'intersection de $G$ et $H$ est le vecteur nul, donc $F$ et $G$ supplémentaires. Donc $O_n$ est de dimension $n=(n-1)+1=n$.