Base de l'espace vectoriel

On vérifie immédiatement qu'il s'agit d'un sous-espace vectoriel.

L'ensemble des matrices carrées magiques antisymétriques ($^tA=-A$) est

$$\left\{ \begin{pmatrix} 0& a &-a\ -a& 0 &a\ a &-a &0 \end{pmatrix}, \, a \in \R \right\}$$

L'ensemble des matrices carrées magiques symétriques ($^tA=A$) avec $s(A)=0$ est

$$\left\{ \begin{pmatrix} b &-b& 0\ -b& 0& b\ 0 &b &-b \end{pmatrix}, \, b \in \R \right\}$$

Toute matrice $A$ peut s'écrire $A = A_s + A_a$ où $A_s$ est symétrique et $A_a$ est antisymétrique: $A_s = \frac{1}{2}(A+^tA)$; $A_a = \frac{1}{2}(A-^tA)$.

Puisque $A$ magique $\ssi$ $^tA$ magique, $A$ magique si et seulement si $A_s$ et $A_a$ sont magiques.