Exemple en dimension$n = 3$

Dans le cas de la dimension $n = 3$, on déduit que $B$, $C$, $J$ forment une base:

$$B=\begin{pmatrix} 1 &-2& 1\ 0 &0 &0\ -1& 2& -1 \end{pmat... ...} J=\begin{pmatrix} 1 &1 &1\ 1 &1 &1\ 1 &1 &1 \end{pmatrix}$$

Toute matrice de la forme $x B + y C + z J$, $(x,y,z)$ entiers relatifs, sera magique.

Par exemple, fabriquons un carré magique. Au hasard, prenons $x = 1$ et $y=2$ (pour le moment, $z=0$).

$B + 2\,C$ vaut

$$\begin{pmatrix} 3 &-2& -1\ -4 &0& 4\ 1 &2 &-3 \end{pmatrix}$$

Et pour ne pas avoir de cases contenant un nombre négatif on ajoute $4\,J$ ($z=4$), ce qui donne

$$\begin{pmatrix} 7 &2 &3\ 0 &4 &8\ 5 &6 &1 \end{pmatrix}$$