FOIRE AUX QUESTIONS DE fr.sci.maths           CHAPITRE I: CONTRADICTIONS

 


I-2. J'ai réussi à montrer que 2=1

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Deux petites démonstrations, fausses, bien entendu, mais qui peuvent induire en erreur. N'oublions pas le vieil adage latin: " ex falsus, quod libet " (de quelque chose de faux, on peut trouver n'importe quoi) a) Par la dérivée. Soit x appartenant à R* On a la relation: x^2 = x + x + x +...+ x , x fois. On dérive: 2 * x= 1 + 1 + 1 + 1 +...+ 1 , x fois. C'est-à-dire : 2*x = x. Et comme x<>0, on obtient 2=1. L'erreur vient de la définition de la dérivée. "x^2 = x + x + x + ... + x, x fois" n'a de sens que si x est entier. Or, pour dériver en un point, il faut considérer un voisinage de ce point (grosso-modo un intervalle ouvert contenant ce point) qui, forcément, sera loin de ne contenir que des entiers. Par exemple, si on essaye d'appliquer cela en x = 3 : -- Il est exact que 3^2 = 3 + 3 + 3. -- Par contre, pour x proche de trois mais x différent de 3, x^2 est différent de 3 * x -- la dérivée en x d'une fonction ne dépend pas de la valeur de la fonction en x mais de son comportement local et le comportement de x^2 en 3 est très différent de celui de 3 * x. De plus, si tu dérives x+..+x (x fois), tu ne différencies pas le 'x fois', que tu considères donc comme une constante. Quand j'étais au lycée on m'avait posé ce problème et j'avais trouvé un moyen (tordu et absurde) de retomber sur ses pattes, en ajoutant "x+..+x ('dérivée de x' fois)", comme ça on a aussi dérivé le 'x fois'. b) Grâce aux polynômes. Supposons que a et b soient des nombres réels non nuls tels que a=b. Alors a^2=ab (on multiplie par a des deux côtés) D'où a^2-b^2 = ab - b^2 (on soustrait b^2 des deux côtés) D'où (a-b)(a+b)=b(a-b) (on met en évidence a-b) D'où a+b=b (on simplifie par a-b) D'où 2b=b (puisque a=b) D'où 2=1 (puisque b est non nul) Ici, l'erreur vient de la simplification par (a-b) qui est nul. On a divisé par zéro, ce qui est impossible. Bien souvent, ces démonstrations trouvent leur erreur dans une division par zéro. c) En utilisant les puissances. -1=(-1)^1=(-1)^(1/1)=(-1)^(2/2)=((-1)^2)^(1/2)=1^(1/2)=1 L'erreur vient du fait que l'on néglige, ici, la définition de la puissance. En effet, on ne peut pas écrire a^q pour q rationnel et a réel négatif. Plus précisément, on peut expliquer le phénomène de la manière suivante. Définition 1: Dans un ensemble stable par la loi multiplicative (pour être le plus général possible), on note (pour un élément a de l'ensemble et pour b entier naturel non nul) a^b pour désigner a multiplié b fois par lui-même . Définition 2: Dans le cas ou on l'on veut mettre un rationnel en exposant, il faut utiliser la définition de la puissance par l'exponentielle : pour a réel strictement positif et b réel, a^b=exp(b*ln(a)). On a en fait le droit d'écrire (-1)^(2/2). Mais pas d'utiliser la loi a^(b*d)=(a^b)^d, car pour utiliser cette loi de composition, il faut, du fait que d est ici rationnel, prendre la définition avec l'exponentielle, qui interdit à a d'être négatif. On a bien la loi de composition a^(b*d)=(a^b)^d pour la définition 1 et la définition 2, mais on peut l'appliquer (pour a, b et d réels): -- Selon la définition 1, seulement si b et d entiers naturels -- Selon la définition 2, seulement si a est strictement positif.