FOIRE AUX QUESTIONS DE fr.sci.maths         CHAPITRE II: DEMONSTRATIONS

II-6. Transcendance de e

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La transcendance de e fut prouvée par Charles Hermite en 1873 (Lindemann
devait  suivre  avec  pi  en  1882,  seulement).   C'est  beaucoup  plus
difficile et horrible à écrire ici. Je résume donc brutalement.

Soit f(t) un polynôme (quelconque pour l'instant) et F(t)  la  somme  de
toutes ses dérivées successives.

En intégrant par parties, on prouve  d'abord  (c'est  très  facile)  que

exp(x) * (intégrale, de 0 à x, de exp(-t) * f(t)) =
- F(x) + exp(x) * F(0).

On  suppose  ensuite  que  e  satisfait  à   l'équation   algébrique   à
coefficients entiers : somme, pour k variant de 0 à n, de a_k * exp(k)=0
(Ce n'est évidemment pas une restriction que de supposer  a_0  non nul).

L'identité générale précédente donne alors :

somme, pour k variant de 0 à n,
de a_k * exp(k) * (intégrale, de 0 à k, de exp(-t) * f(t)) =
- somme, pour k variant de 0 à n, de a_k * F(k).  (1)

Ici, coup de génie de Hermite : il choisit maintenant le polynôme
 f(t) = (t^(p-1))/(p-1)!) * produit pour j variant de 1 à n, de (j-t)^p,

où p est un nombre premier supérieur à n et à |a_0|.

(C'est possible, puisqu'il existe une infinité de nombres premiers)

Il démontre ensuite que le second  membre  de  (1)  est  un  entier  non
multiple de p (c'est élémentaire, mais subtil), donc non  nul,  donc  de
valeur absolue valant au moins  1  (astuce classique en arithmétique !).

Par ailleurs, le premier membre de (1) -> 0 lorsque p -> +oo,  selon  la
suite  des  nombres  premiers  (par  des  majorations  fort   brutales).

C'est la contradiction cherchée.