FOIRE AUX QUESTIONS DE fr.sci.maths         CHAPITRE II: DEMONSTRATIONS

II-5. Irrationalité de e

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L'irrationalité de e fut prouvée dès  1737  par  Euler,  toujours  lui !
(voir la remarque 2, ci-après), de la façon suivante.

e = série, pour k variant de 0 à l'infini, de 1/k!

Donc, une première évidence :  la  somme  partielle  (appelons-la  S_n),
pour k variant de 0 à n de cette série est strictement inférieure à e.

Ensuite, on majore la "queue" de la série (k variant de n+1 à l'infini),
en  y  remplaçant  chaque  1/k!  =  (1/n!) * 1/((n+1)*(n+2)*(n+3)*...*k)
par (1/n!)* 1/(n+1)^k.
Cela donne une "bête" série géométrique dont la  somme  vaut  finalement
1/(n!*n).

Résumons : S_n < e < S_n + 1(n!*n)

(N.B. ceux qui ont quelque idée de l'approximation  rationnelle  savent
déjà que c'est gagné : voir la remarque 1 ci-après).

On peut écrire cela comme e = S_n + r(n)/(n!*n), avec r(n)  dans  ]0,1[.

Supposons maintenant que  e  soit  rationnel,  et  soit  alors  a/b  son
écriture canonique.

Dans ce qui précède, en choisissant le cas particulier n = b, on obtient
donc :

a/b = S_b + r(b)/(b!*b), avec toujours r(b) dans ]0,1[.

Multiplions par b!.  On trouve

(b-1)! * a = (somme, pour k variant de 0 à b, de b!/k!) + r(b)/b.

C'est absurde, parce que le premier membre est entier, le premier  terme
du second membre l'est aussi (somme de termes tous évidemment  entiers),
tandis que le "terme d'erreur" r(b)/b ne l'est pas.


Remarque 1.
   On sait (c'est d'ailleurs quasi évident) qu'un rationnel alpha  n'est
   jamais approchable par une suite (illimitée) de rationnels  s/t  avec
   une "vitesse" v supérieure à 1.
   (je veux dire par  là : |alpha - s/t| < constante/t^v,  avec  v > 1).

   L'encadrement obtenu par Euler était donc bien entendu trop minuscule
   pour " être honnête ", c'est à dire pour cerner un rationnel.

   Généralisation : Liouville a montré en 1844 qu'un  nombre  algébrique
   d'ordre d n'est pas approchable à une vitesse strictement  supérieure
   à d.

   Il s'est servi de ce résultat  (de  démonstration  élémentaire)  pour
   construire effectivement une infinité (non  dénombrable)  de  nombres
   transcendants.
   Exemple : somme, pour k variant de 0 à l'infini, de 1/10^(k!).

   Roth a mis un point final  à  cette  histoire  en  prouvant  qu'aucun
   nombre algébrique de degré > 1 (c-à-d irrationnel) n'est  approchable
   à un ordre strictement supérieur ***à 2***.

   Comme par ailleurs les réduites  de  la  fraction  continue  pour  ce
   nombre (leur suite est illimitée, puisqu'il s'agit d'un  irrationnel)
   l'approchent précisément  à  l'ordre  2,  ce  théorème  est  optimal.
   Il a valu à Roth l'une des médailles Fields de 1955.

Remarque 2.
   Une  réclame  de  la  Mathematical  Association  of  America  annonce
   la parution du livre " Euler, the Master of us all ".  (ce titre  est
   une citation de Laplace).  Le livre est  écrit  par  William  Dunham,
   dans la série " Dolciani Mathematical Expositions ", bien  connue  de
   tous les familiers de la MAA.