FOIRE AUX QUESTIONS DE fr.sci.maths         CHAPITRE II: DEMONSTRATIONS

 


II-5. Irrationalité de e

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L'irrationalité de e fut prouvée dès 1737 par Euler, toujours lui ! (voir la remarque 2, ci-après), de la façon suivante. e = série, pour k variant de 0 à l'infini, de 1/k! Donc, une première évidence : la somme partielle (appelons-la S_n), pour k variant de 0 à n de cette série est strictement inférieure à e. Ensuite, on majore la "queue" de la série (k variant de n+1 à l'infini), en y remplaçant chaque 1/k! = (1/n!) * 1/((n+1)*(n+2)*(n+3)*...*k) par (1/n!)* 1/(n+1)^k. Cela donne une "bête" série géométrique dont la somme vaut finalement 1/(n!*n). Résumons : S_n < e < S_n + 1(n!*n) (N.B. ceux qui ont quelque idée de l'approximation rationnelle savent déjà que c'est gagné : voir la remarque 1 ci-après). On peut écrire cela comme e = S_n + r(n)/(n!*n), avec r(n) dans ]0,1[. Supposons maintenant que e soit rationnel, et soit alors a/b son écriture canonique. Dans ce qui précède, en choisissant le cas particulier n = b, on obtient donc : a/b = S_b + r(b)/(b!*b), avec toujours r(b) dans ]0,1[. Multiplions par b!. On trouve (b-1)! * a = (somme, pour k variant de 0 à b, de b!/k!) + r(b)/b. C'est absurde, parce que le premier membre est entier, le premier terme du second membre l'est aussi (somme de termes tous évidemment entiers), tandis que le "terme d'erreur" r(b)/b ne l'est pas. Remarque 1. On sait (c'est d'ailleurs quasi évident) qu'un rationnel alpha n'est jamais approchable par une suite (illimitée) de rationnels s/t avec une "vitesse" v supérieure à 1. (je veux dire par là : |alpha - s/t| < constante/t^v, avec v > 1). L'encadrement obtenu par Euler était donc bien entendu trop minuscule pour " être honnête ", c'est à dire pour cerner un rationnel. Généralisation : Liouville a montré en 1844 qu'un nombre algébrique d'ordre d n'est pas approchable à une vitesse strictement supérieure à d. Il s'est servi de ce résultat (de démonstration élémentaire) pour construire effectivement une infinité (non dénombrable) de nombres transcendants. Exemple : somme, pour k variant de 0 à l'infini, de 1/10^(k!). Roth a mis un point final à cette histoire en prouvant qu'aucun nombre algébrique de degré > 1 (c-à-d irrationnel) n'est approchable à un ordre strictement supérieur ***à 2***. Comme par ailleurs les réduites de la fraction continue pour ce nombre (leur suite est illimitée, puisqu'il s'agit d'un irrationnel) l'approchent précisément à l'ordre 2, ce théorème est optimal. Il a valu à Roth l'une des médailles Fields de 1955. Remarque 2. Une réclame de la Mathematical Association of America annonce la parution du livre " Euler, the Master of us all ". (ce titre est une citation de Laplace). Le livre est écrit par William Dunham, dans la série " Dolciani Mathematical Expositions ", bien connue de tous les familiers de la MAA.