FOIRE AUX QUESTIONS DE fr.sci.maths         CHAPITRE II: DEMONSTRATIONS

II-4. Irrationalité de la racine d'un nombre premier

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Sachant  que  la  racine  carrée  de  2  est  irrationnelle,   on   peut
s'interroger sur la racine cubique de 2, la racine  carrée  de  3,  d'un
nombre premier quelconque.

Chacun de ces nombres est en fait  irrationnel,  mais  pour  établir  un
résultat relativement  général  sur  ces  questions,  il  est  utile  de
recourir à  des  outils  un  peu  plus  élaborés  que  dans  la  section
précédente : la décomposition  factorielle  d'un  nombre  entier  et  la
valuation p-adique sur les entiers.

On rappelle que pour tout nombre premier p la  valuation  p-adique  d'un
entier x est le nombre noté v_p(x) défini comme  le  plus  grand  entier
naturel a tel que p^a divise x. C'est aussi  l'exposant  de  p  dans  la
décomposition de x, en facteurs premiers.

On voit facilement que la valuation p-adique  possède  la  propriété  de
morphisme suivante : v_p(x*y) = v_p(x)+v_p(y), pour tous entiers x et y,
et donc aussi v_p(x^a) = a*v_p(x) pour a entier positif.

Une généralisation du problème de l'irrationalité de la racine carrée de
2 peut se formuler comme suit :

Soit a un nombre entier strictement  positif.  A  quelle  condition  sur
l'entier positif x  le  nombre  x^(1/a)  (racine  a-ième  de  x)  est-il
rationnel ?

Posons x^(1/a)=m/n. Il vient m^a=x*n^a. Pour tout nombre premier p, on a
donc v_p(m^a) = v_p(x*n^a) et donc a*v_p(m) = v_p(x)+a*v_p(n) ou  encore
v_p(x) = a*(v_p(m)-v_p(n)). v_p(x) est ainsi un multiple de a  quel  que
soit le nombre premier p. Il s'ensuit que x est  lui-même  la  puissance
a-ième d'un entier.

Il est par ailleurs évident que la racine a-ième  d'un  nombre  qui  est
puissance a-ième d'un entier est rationnelle. On  peut  donc  affirmer :

x^(1/a) est un nombre rationnel si et seulement si x  est  la  puissance
a-ième d'un entier.

Ainsi, en particulier, les nombres entiers dont  la  racine  carrée  est
rationnelle sont les carrés d'entiers.