FOIRE AUX QUESTIONS DE fr.sci.maths         CHAPITRE II: DEMONSTRATIONS

II-3. Irrationalité de la racine carrée de 2

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La racine carrée de 2 est  le  premier  exemple  de  nombre  irrationnel
qu'aient rencontré les mathématiciens. Il est connu  depuis  l'Antiquité
grecque et cette découverte a suscité à l'époque beaucoup de perplexité.
Une preuve de ce résultat procède par l'absurde. Il semble que  ce  soit
le premier exemple de raisonnement par  l'absurde  dans  l'histoire  des
mathématiques.


Avant d'aborder la preuve proprement dite, nous devons établir ce  petit
résultat intermédiaire :
   Soit n un nombre entier. n est pair si et seulement si n^2  est  pair
   et  n   est   impair   si   et   seulement   si   n^2   est   impair.
   (Le  lecteur  familier  des  calculs  modulo,  reconnaîtra   un   cas
   particulier du petit théorème de Fermat : n^2 = n [mod 2].)

Preuve :
   Si n est pair, par définition, il existe un entier k tel que  n = 2k.
   On a alors n^2=4k^2 soit n^2=2*(2k^2). Ceci montre  que  n^2  est  un
   nombre pair.
   Si n est impair, il  existe  un  entier  k  tel  que  n=2k+1.  Alors,
   n^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1 et n^2=2(2k^2+2k)+1, ce qui montre que n^2 est
   impair.

Munis de ce résultat, nous pouvons prouver l'irrationalité  de  sqrt(2).

Nous souhaitons raisonner par l'absurde, c'est-à-dire que nous supposons
que sqrt(2) est rationnel.  Nous  allons  montrer  que  cette  hypothèse
conduit à une contradiction. Nous en déduirons donc que l'hypothèse  est
fausse, c'est-à-dire que sqrt(2) est irrationnel.

Si sqrt(2) est rationnel, on peut donc écrire sqrt(2)=m/n où m et n sont
deux nombres entiers strictement positifs. Nous pouvons supposer de plus
que l'écriture m/n est la forme irréductible de cette fraction, c'est-à-
dire que m et n n'ont pas de diviseurs communs. En  particulier,  m et n
ne sont pas simultanément pairs.

Élevons au carré l'égalité sqrt(2)=m/n. Il  vient  2=m^2/n^2  ou  encore
m^2=2n^2. Ainsi, m^2 est un nombre pair. Or, nous avons vu qu'un  nombre
et son carré ont toujours la même parité. Il s'ensuit que m est lui-même
un nombre pair. Nous pouvons donc poser  m=2m'.

Notre égalité devient alors 4m'^2=2n^2 ou encore 2m'^2=n^2. n^2 est donc
un nombre pair. Comme plus haut, nous en déduisons que  n  est  lui-même
un nombre pair.

m et n sont donc simultanément pairs, ce qui est contradictoire avec nos
hypothèses. Il s'ensuit  que  la  racine  carrée  de  2  est  un  nombre
irrationnel.