FOIRE AUX QUESTIONS DE fr.sci.maths         CHAPITRE II: DEMONSTRATIONS

 


II-2. ab et a+b premiers entre eux

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Enoncé: Soient a et b deux nombres entiers relatifs tels qu'ils soient premiers entre eux. Le problème est de montrer que ab et a+b sont premiers entre eux. a) Pour cette démonstration il faut connaître le lemme d'Euclide : Soit p un nombre premier, et a, b deux nombres entiers relatifs. Si p divise ab, alors p divise soit a soit b. Soit p un nombre premier tel qu'il divise ab et a+b. p divise ab, donc par le lemme d'Euclide, p divise soit a, soit b. Supposons que p divise a, alors on a: p divise a et p divise (a+b) donc p divise (a+b) - a = b. Donc p divise a et p divise b. Or deux nombres premiers entre eux n'ont pas de facteurs premiers communs. Comme a et b sont premiers entre eux, il vient que ab et a+b sont premiers entre eux. b) Voici une autre démonstration qui n'utilise pas les propriétés des nombres premiers, mais uniquement la relation de Bézout : a et b sont premiers entre eux, ssi il existe deux nombres entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1. -- Lemme 1 : Si a et b sont premiers entre eux, alors a+b est premier avec a et avec b. De au + bv = 1, on déduit a(u-v) + (a+b)v = 1, donc a et a+b sont premiers entre eux. De même pour b et a+b. -- Lemme 2 : Si a est premier avec b et avec c, alors a est premier avec bc. De au + bv = 1, on déduit acu + bcv = c. Donc il existe deux nombres entiers U=cu et V=v tels que (a)U + (bc)V = c donc tout diviseur commun de a et bc divise c, donc divise pgcd(a,c)=1. -- Conclusion : Soient a et b premiers entre eux ; alors, par le lemme 1, a+b est premier avec a et avec b, donc, par le lemme 2, a+b est premier avec ab. c) En partant de la relation de Bézout, comme a et b sont premiers entre eux, il existe u et v deux nombres entiers relatifs tels que au + bv = 1 donc 1 = 1² = (au+bv)² = (au)² + 2abuv +(bv)² = (au)² + abv² + abu² +(bv)²- abv² + 2abuv - abu² = (a+b)(au² + bv²) - ab(u-v)² Or (au² + bv²) et (u-v)² sont des nombres entiers relatifs, donc par la relation de Bézout, on en déduit que a+b et ab sont premiers entre eux.