FOIRE AUX QUESTIONS DE fr.sci.maths         CHAPITRE II: DEMONSTRATIONS

 


II-1. Le Petit théorème de Fermat

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Enoncé : Si p est un nombre premier, et x un entier quelconque non divisible par p, alors le reste de la division de x^(p-1) par p est égal à 1. Par exemple, si on prend p = 1999 qui est premier, et x = 1665, année de la mort de Fermat, qui n'est pas divisible par 1999, alors le théorème dit que le reste de la division de 1665^1998 par 1999 est égal à 1. Ce théorème a sans aucun doute été démontré par Fermat. (Il me semble qu'on n'a pas retrouvé la démonstration de Fermat, mais Euler en a publié une dès le XVIIIe siècle). a) Soient donc p un nombre premier et x un entier non divisible par p. Modulo p, (x*1,x*2,...,x*(p-1)) est une permutation de (1,2...,p-1). parce que x est inversible modulo p, car non divisible par p. On a donc, modulo p, (x*1)*(x*2)*(x*3)...*(x*(p-1)) = 1 * 2 * 3 * ... * (p-1) C'est à dire (p-1)! * x^(p-1) = (p-1)! Mais, comme p est premier, (p-1)! est inversible modulo p. On obtient donc finalement x^(p-1) = 1 modulo p. b) Soit p un nombre premier. Si 0 < k < p, comb(p,k) = p!/(k!*(p-k)!) est multiple de p. Ainsi, le binôme de Newton donne tout de suite : (1 + a)^p = 1 + a^p modulo p. Sommons pour a variant de 0 à x-1. Les termes se détruisant deux à deux, il reste seulement : x^p = x modulo p. Si x n'est pas multiple de p, cela équivaut à x^(p-1) = 1 modulo p.