II-8. Les nombres et les polynômes de Bernoulli
FOIRE AUX QUESTIONS DE fr.sci.maths CHAPITRE II: DEMONSTRATIONS
II-8. Les nombres et les polynômes de Bernoulli
SUJET PRECEDENT - INDEX - SUJET SUIVANTCet article fournit des informations sur les nombres de Bernouilli ainsi que quelques considérations sur les polynômes attribués au même mathématicien. Les démonstrations ne sont pas réellement faites mais des pistes sont fournies. Les polynômes de Bernoulli jouent un rôle central dans la formule d'Euler-Mac Laurin qui a de nombreuses applications en analyse numérique (accélération de la convergence de certaines séries numériques, intégration numérique... entre autres) Je conseille à ceux qui veulent s'y plonger de le faire avec une feuille de papier pour noter les choses au fur et à mesure... ... après avoir imprimé l'ensemble. En effet le format texte constitue vite un frein à la compréhension... Habituellement on définit les polynômes de Bernoulli B_n par B_0(X) = 1 B_n(1) = B_n(0) pour n au moins égal à 2. B_(n+1) a pour dérivé B_n et l'on pose alors b_n = B_n(0) On prouve facilement que B_n est ainsi parfaitement défini... Les nombres de Bernoulli sont les i! * b_i Notons que des définitions variantes existent. On en déduit les propriétés suivantes : 1. B_n(X) = Somme{ b_(n-j) * (X^j)/j! ; j de 0 à n} 2. Pour tout n et tout X : B_n(1-X) = [(-1)^n]*B_n(X) 3. Pour tout p>0, tout n, tout X B_n(X) = [p^(n-1)]*somme{ B_n( (x+j)/p) ) ; j de 0 à p-1 } 4. B_(n+1) (X+1) - B_(n+1) (X) = (X^n)/n! 5. 1^n + 2^n + ... . M^n = n! * [ B_(n+1) (m+1) - B_(n+1) (0) ] Preuves: 1. Taylor pour les polynômes... 2. et 3. On veut que B_n soit égal à un certain polynôme... On montre que ce polynôme vérifie la "définition" de B_n... 4. Par récurrence... 5. avec 4. Les premiers nombres de Bernoulli sont 1 ; -1/2 ; 1/6 ; 0 ; -1/30 ; 0 ; 1/42 ; ... De B_n(1) = B_n(0) on déduit b_n = - somme{ b_(n-j) / (j+1)! ; j de 1 à n } Égalité qui permet de trouver une formule de récurrence pour les nombres de Bernoulli.