II-9. Par combien de zéros
le nombre 1998! se termine-t-il ?
FOIRE AUX QUESTIONS DE fr.sci.maths CHAPITRE II: DEMONSTRATIONS
II-9. Par combien de zéros
le nombre 1998! se termine-t-il ?
SUJET PRECEDENT - INDEX - SUJET SUIVANTa) Le problème Répondre à cette question n'est pas en soi très difficile, il s'agit juste de bien poser le problème. On souhaite en fait mettre en facteur dans le produit 1 x 2 x ... x 1998 la plus grande puissance entière de 10 possible. On obtient alors une expression du type k x 10^n, où n est le plus grand entier tel que k soit lui aussi un entier. b) L'idée de la résolution Il s'agit donc de compter le nombre de 10 que l'on peut mettre en facteurs. Compter tous les 10 serait assez fastidieux : essayons de nous ramener à un "comptage" de nombres premiers. On remarque que 10 = 5 x 2. 2 a d'autres multiples inférieurs à 10 (4, 6 et 8), ce qui n'est pas le cas de 5. On comptera donc le nombre de 5 présents dans la décomposition de 1998! en produit de nombres premiers, puisque 1998! a plus de facteurs 2 que de facteurs 5. c) Solution Isolons les facteurs 5 dans 1*2*3*4*...*1998. On cherche les multiples de 5 dans {2,3,...,1998}: il y en a E(1998/5). Aussi 1998! = 5^E(1998/5) * reste. Dans le reste, il y a encore des facteurs 5, qui proviennent des multiples de 25 dans {2,3,...,1998}: il y en a E(1998/25). Donc 1998! = 5^(E(1998/5)+ E(1998/25)) * reste2 De même, il y a E(1998/125) multiples de 5^3, E(1998/625) multiples de 5^4 et 0 de 5^5. En clair, l'exposant N du nombre 5 dans le produit de nombres premiers égal à 1998! est donné par la relation : N = E(1998/5) + E(1998/25) + E(1998/125) + E(1998/625) Or, on a : E(1998/5)=399 E(1998/25)=79 E(1998/125)=15 E(1998/625)=3 Donc N vaut : N = 399 + 79 + 15 + 3 = 496 On avait montré précédemment que N était égal au nombre de zéros. Le nombre 1998! se termine donc par 496 zéros. Le début de la décomposition de 1998! obtenue avec un logiciel mathématique est la suivante : (2)^1990 x (3)^996 x (5)^496 x (7)^330 x (11)^198 x (13)^164 x ... Ce résultat confirme notre conclusion. On peut donc, à partir de quelques considérations de dénombrement, déterminer avec une étonnante simplicité le nombre de zéros par lequel se termine tout nombre défini à partir d'une factorielle, bien que la forme a! soit d'autant moins explicite que le nombre a est grand ! Le lecteur soucieux de vérifier par lui-même comment s'opère en détail cette décomposition pourra par exemple écrire un algorithme permettant, à partir d'un nombre n donné, de dénombrer les zéros terminant n! .