V-3. Le grand théorème de Fermat
FOIRE AUX QUESTIONS DE fr.sci.maths CHAPITRE V: QUESTIONS FONDAMENTALES
V-3. Le grand théorème de Fermat
SUJET PRECEDENT - INDEX - SUJET SUIVANTa) Enoncé. Le " grand " ou " dernier " théorème de Fermat dit ceci: alors qu'il existe des carrés qui sont somme de deux carrés (par exemple 5² = 3² + 4², 13² = 12² + 5²), il n'existe aucun cube (non nul) qui soit somme de deux cubes (non nuls). De même, il n'existe aucune puissance quatrième qui soit somme de deux puissances quatrièmes (non nulles), etc. En général, pour n > 2, il n'existe aucun triplet (x, y, z) d'entiers non nuls, tels que x^n + y^n = z^n. C'est à dire, traduit en langage mathématique pour n > 2 l'équation x^n+ y^n = z^n n'a pas de solution entière non triviale. b) Histoire liée au théorème. Contrairement au petit théorème, il s'agit d'un résultat extrêmement difficile, dont Fermat n'a pas publié de démonstration, et qu'il n'a probablement pas démontré. Fermat n'a même jamais affirmé publiquement l'avoir démontré. Il écrivit dans une marge du livre II des Oeuvres de Diophante: " j'ai découvert une démonstration merveilleuse, mais je n'ai pas la place de la mettre dans la marge ". Le livre et cette annotation ont été publiés après sa mort, par son fils. En dépit de la simplicité de son énoncé, ce théorème est tellement difficile à prouver que les plus grands mathématiciens s'y sont cassé les dents pendant plus de 300 ans. On notera cependant, que : -> Euler (1707-1783) le démontre pour n = 3 et ses multiples -> Legendre ( 1752-1833) pour n = 5 -> Kummer (1810-1893) pour tout n tel que 2<n<100 En 1993, une démonstration est enfin publiée: celle d'Andew Wiles (1953-). c) Références. Voici une page bien documentée sur le sujet (Warning in english!) http://www.best.com/~cgd/home/flt/flt01.htm Simon Singh a écrit un très beau livre : "Le dernier Théorème de Fermat" aux éditions JC Lattès, à partir d'un documentaire qu'il devait réaliser sur le sujet pour la BBC. C'est principalement un roman. Il y a aussi le livre de Yves Hellegouarch : "Invitation aux mathématiques de Fermat-Wiles" aux éditions Masson, très bien fait, mais demandant un niveau licence ou maîtrise de mathématiques, pour en comprendre toutes les finesses.