Par exemple, si on prend qui est
premier, et
, année de la mort de
Fermat, qui n'est pas divisible par
, alors le
théorème dit que le reste de la division de
par
est
égal à
.
Ce théorème a sans aucun doute été
démontré par Fermat. (Il me semble qu'on n'a pas
retrouvé la démonstration de Fermat, mais Euler en a
publié une dès le
siècle).
Soit un nombre premier.
Si ,
, donc
divise
. Comme
,
et
,
, on a
.
Cela prouve le lemme suivant: Si ,
est
multiple de
.
Ainsi, le binôme de Newton donne tout de suite:
,
.