Le petit théorème de Fermat.

Par exemple, si on prend $p = 1999$ qui est premier, et $n = 1665$, année de la mort de Fermat, qui n'est pas divisible par $1999$, alors le théorème dit que le reste de la division de $1665^{1998}$ par $1999$ est égal à $1$.

Ce théorème a sans aucun doute été démontré par Fermat. (Il me semble qu'on n'a pas retrouvé la démonstration de Fermat, mais Euler en a publié une dès le $XVIII^e$ siècle).

Soit $p$ un nombre premier.

Si $k < p$, $k! (p-k)! C_p^k = p!$, donc $p$ divise $k! (p-k)! C_p^k$. Comme $\forall j \leq k$, $j \wedge p = 1$ et $\forall j \leq (p-k)$, $j \wedge p = 1$, on a $p \vert C_p^k$.

Cela prouve le lemme suivant: Si $0 < k < p$, $C_p^k = \frac{p!}{k!\times(p-k)!}$ est multiple de $p$.

Ainsi, le binôme de Newton donne tout de suite: $\forall x \in \N$, $(1 + x)^p \equiv 1 + x^p \mod{p}$.