Deuxième façon, par récurence

Pour tout $n$, notons $H(n)$ l'hypothèse $n^p \equiv n \mod{p}$ .

Pour n=0, c'est évident.

Soit $n$ un entier quelconque. Supposons $H(n)$ et montrons $H(n+1)$. $(1+n)^p \equiv 1 + n^p \mod{p}$ d'après le binôme de Newton. Or $n^p \equiv n \mod{p}$ d'après $H(n)$. Ainsi $(1+n)^p \equiv 1+n \mod[p]$ ce qui prouve $H(n)$ et achève la démonstration.